Оглавление (стр. 16 )

Предположим, что . Подсчитаем

.

Теорема доказана.

Теорема. Если случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью , а случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью и случайные величины и независимы, то + также имеет абсолютно-непрерывное распределение, плотность которого выражается равенством: .

Данная формула называется формулой свертки или композицией распределений (приводится без доказательства).

Тема 3 (12). Характеристические функции. Центральная предельная теорема.

Определение. Пусть случайная величина обозначается и определяется равенством: , .

Теорема. Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

; ; Если , то ; Если - независимы, то выполняется равенство: Пусть у характеристической функции существуют производные до порядка включительно. Тогда выполняется равенство: .

Доказательство.

1) .

2) .

3) .

4) - независимы тоже независимы.

Докажем для случая когда случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью .

;

;

;

;

;

;

.

Теорема доказана.

Теорема. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают.

Замечание. Если случайная величина имеет дискретное распределение задаваемое таблицей , то характеристическую функцию данной случайной величины можно вычислять по формуле: .

Пример. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром .

, .

.

Т. е. для распределения Пуассона .

Пусть имеем распределение Пуассона с параметром . Вычислим и .

;

;

;

;

.

Теорема. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром и случайные величины + имеет распределение Пуассона с параметром .

Доказательство 1.

Рассмотрим

Доказательство 2.

;

;

, получили характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром .

Т. о + имеет распределение Пуассона с параметром .

Теорема доказана.

Замечание. Если случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью , то выполняется равенство

.

Пример. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем .

, тогда =