Оглавление (стр. 3 )

6). .

Доказательство.

       1). Ш) = .

       2). Пусть Тогда верны соотношения .

       3). Поскольку   , то из 2). , а из 1). .

       4). Справедлива цепочка равенств

.

       5). Если , то   и  .

       6). Так как и , то верны соотношения , откуда вытекает равенство .

Замечание. Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность любого события можно вычислять по формуле , где -общее количество элементарных исходов, а - количество элементов множества . Данное равенство называется классическим определением вероятности. Словесно оно формулируется следующим образом: «Вероятность любого события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу элементарных исходов».

В нашем примере

Тема 2 (2). Условная вероятность. Независимость событий.

Определение. Пусть даны события и , причем >0. Условная вероятность события относительно события обозначается и определяется равенством .

Замечание. Введение именно такого определения условной вероятности объясняется следующими соображениями. В условиях классического определения вероятности имеем:

,

то есть в роли общего числа исходов выступает количество элементов , а в роли числа благоприятствующих исходов – количество общих элементов и .

Определение. События и называются независимыми, если выполняется равенство

Замечание. Если событие не зависит от события , то справедливо соотношение , равносильное условиям ; .

Аналогичное равенство получается, если предположить что не зависит от . Данное нами определение предпочтительнее, во-первых, из соображений симметрии и , а во-вторых, потому что оно не требует выполнения условий >0 или >0.

Определение. События называются независимыми в совокупности, если для любой системы индексов выполняется равенство

Замечание. Пусть Тогда независимость в совокупности событий означает выполнение равенств

, ,

, .

Пример. Пусть в примере с подбрасыванием кубика («количество выпавших очков четно»), («количество выпавших очков делится на 3»), («количество выпавших очков делится на 6»). Найдем и проверим независимость событий и .

,

.

, ,

.

Следовательно, события и являются независимыми. Этого следовало ожидать, поскольку делимость на 2 никак не связана с делимостью на 3.

       Теперь найдем и проверим независимость событий и . , , , , ,