Оглавление (стр. 4 )

, ,

.

Следовательно, события и являются зависимыми. Этого также следовало ожидать, поскольку делимость на 6 влечет за собой делимости на 3.

       В следующей теореме приводится способ вычисления вероятности события при выполнении определенных условий.

Теорема. Пусть даны события , называемые гипотезами и обладающие свойствами:

       1).   >0,

       2).   ,

       3). .

Тогда вероятность любого события можно вычислять по формуле

,

называемой формулой полной вероятности.

Доказательство.

Справедлива цепочка равенств

,

что и требовалось доказать.

Замечание. Гипотезы можно трактовать как взаимоисключающие условия некоторого случайного эксперимента.

Следующая теорема позволяет переоценивать вероятности гипотез после наступления некоторого события.

Теорема. В условиях предыдущей теоремы справедливо равенство

, называемое формулой Байеса.

Доказательство.

При всех имеем: , откуда получаем ,

что и требовалось доказать.

Пример. На некотором заводе первый цех выпускает 50% всей продукции, второй цех – 30% и третий цех  - 20%. Известно, что первый цех допускает 1% брака, второй цех – 2% брака и третий цех – 5% брака.

1). Найти вероятность того, что случайным образом проверенное изделие завода окажется бракованным.

2). Случайным образом проверенное изделие завода оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно выпущено третьим цехом.

Решение.

Пусть гипотеза состоит в том, что изделие выпущено первым цехом, - вторым цехом, - третьим цехом. Событие означает, что изделие бракованное. Из условия задачи имеем: ,  ,  ,  ,  ,  .

Для ответа на первый вопрос применяем формулу полной вероятности.

Таким образом, средний процент брака по заводу равен 2,1%.

Для ответа на второй вопрос применяем формулу Байеса.

.

Таким образом, третий цех выпускает пятую часть всей продукции и почти половину бракованной продукции.

Тема 3 (3). Случайные величины и их характеристики.

Определение. Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной называется отображение множества элементарных исходов во множество действительных чисел .

Замечание. Таким образом, каждому элементарному исходу сопоставляется число .

Пример. Пусть случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух монет, а случайная величина - это количество выпавших гербов. Данную случайную величину можно задать следующей таблицей.

	(цифра, цифра)	(цифра, герб)	(герб, цифра)	(герб, герб)
	0	1	1	2

Определение. Пусть задана случайная величина . Распределением данной случайной величины называется таблица

где - это значения, которые может принимать случайная величина , а - вероятности этих значений. Таким образом, при всех выполняются равенства . Числа удовлетворяют условиям , , .

Пример. Распределение случайной величины из предыдущего примера выглядит так:

	0	1	2

Действительно, ,

,