Оглавление (стр. 9 )

Доказательство.

С использованием формулы Бернулли имеем:

Здесь использовался тот факт, что равенство влечет за собой соотношение , где .

Выполняются условия: ,

, .

Подставляя эти выражения в полученное равенство, получаем , что и требовалось доказать.

Замечание. Пусть - количество «успехов» в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Тогда при больших и малых справедливо приближенное равенство , где , называемое формулой Пуассона.

Пример. Пусть , , . Тогда , .

Определение. Будем говорить, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если ее распределение задается следующей таблицей: , где при всех .

Теорема. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром . Тогда справедливы равенства , .

Доказательство.

Имеем: .

Итак, равенство доказано. Равенство примем без доказательства.

Тема 3 (6). Закон больших чисел.

Содержательные теоремы теории вероятностей могут быть получены, если рассматривать не одно событие или случайную величину, а много. Для этого необходим аппарат, позволяющий с тем или иным приближением получать выводы о вероятностях разных событий, связанных с большим числом случайных величин. Одним из звеньев этого аппарата является неравенство Чебышева.

Теорема (неравенство Чебышева).

Для любой случайной величины и любого выполняется неравенство , называемое неравенством Чебышева.

Доказательство.

Справедлива цепочка равенств и неравенств

откуда вытекает требуемое неравенство.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если выполняется условие . Обозначается .

Лемма. Пусть - последовательность случайных величин. Для того чтобы последовательность сходилась по вероятности к 0 при , достаточно выполнения условия .

Доказательство.

Применяя неравенство Чебышева, получаем: , , то есть , что и требовалось доказать.

Теорема (Закон больших чисел).

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющих условию (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда справедливо соотношение

называемое законом больших чисел.

Доказательство.

Введем случайные величины .

Тогда верны равенства .

Покажем, что выполняется условие . В самом деле, имеем:

Следовательно, , то есть , что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Пусть - последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин, причем при всех . Тогда выполняется условие , .

Доказательство.

В данном случае имеем: . Тогда по закону больших чисел получаем: то есть , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы.

Как определяется независимость случайных величин? Как формулируется критерий независимости случайных величин? Какими свойствами обладают независимые случайные величины? Как определяется коэффициент корреляции? В каких пределах может находиться коэффициент корреляции? Как формулируется формула Бернулли? Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Бернулли с параметрами , ? Как формулируется теорема Пуассона? Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром ? Как определяется ? Чему равно ? ? ? Какие значения могут принимать и параметры в формуле Бернулли? Какие условия накладываются на вероятности в теореме Пуассона? Как формулируется неравенство Чебышева? Как определяется сходимость последовательности случайных величин к случайной величине по вероятности? Какое условие является достаточным для справедливости соотношения ? Как формулируется закон больших чисел? Как формулируется следствие из закона больших чисел?

Тестовые задания

Независимость случайных величин необходима для выполнения равенства Если случайные величины и независимы, то независимыми являются и и и и и Если случайные величины и независимы, то выполняются равенства Какое из следующих равенств неверно? Какое из данных чисел не может быть значением коэффициента корреляции? 2 0 Если , , , то равен 0,9 0,09 0,3 0,03 Правой частью формулы Бернулли является выражение ( - число опытов, - число «успехов») Если имеет распределение Бернулли с параметрами , , то верны оба равенства , , , , Если имеет распределение Пуассона с параметром , то верны оба равенства , , , , Если имеет распределение Пуассона с параметром , то равны 100 110 90 10 равно 5 Не определено 0 1 Выполнение, какой пары условий требуется в теореме Пуассона? Фрагментом доказательства какого утверждения является соотношение Формула Бернулли Теорема Пуассона Неравенство Чебышева Закон больших чисел Неравенство Чебышева имеет вид Условие является достаточным для выполнения соотношения при при

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	б	а	б	в	а	в	а	г	б	г	в	в	а	в

Модуль 3.

Тема 1(7). Вероятностные пространства общего вида.

Откажемся теперь от конечности и счетности пространства элементарных исходов и перейдем к общему случаю. Итак, пусть имеется пространство элементарных исходов произвольной мощности. В общей аксиоматике сохраняется понятие события, как подмножества множества . Однако теперь не требуется, чтобы любое подмножество было событием. Требуется лишь, чтобы теоретико – множественные операции, производимые над счетным числом событий, приводили опять к событиям.