Дисциплина читается в соответствии со стандартом РУДН по основной образовательной программе ВПО. 2. Календарный план учебных занятий по дисциплине «Инвестиционный анализ» (стр. 9 )

Для указания периода, за который вычисляется доходность, применяют специальную терминологию. Например, месячная доходность – доходность за 1 месяц, годовая доходность – доходность за 1 год и т. д.

Пример 1.2.

Найти годовые доходности акций А и В для примера 1.1.

Решение

       В примере 1.1 мы нашли, что полный доход за год от продажи акций А и В = 20$.

Таким образом,

Годовая  доходность А = (полный доход акции А за год) /(начальная цена акции А)

= 20/40 = 0,5

Годовая доходность В  = (полный доход акции В за год) /(начальная цена акции В)

= 20/4000 = 0,005

Ответ: годовая доходность А  = 0,5, годовая доходность В  = 0,005. ?

       В финансовой литературе доходность обычно задается в процентах. Чтобы найти доходность в процентах необходимо полученное значение доходности измеряемое в единицах умножить на 100%.

Для примера 1.2. значения доходностей в процентах будут для акции А – 5%, для акции В – 0,5%

8. Вероятностная модель рынка

Будем считать, что рынок ценных бумаг находится в одном из состояний:

s1, s2, s3

где

s1 – "хорошее" состояние рынка,

s2 – "среднее" состояние рынка,

s3 – "плохое" состояние  рынка.

Пусть также

p(s1) - вероятность того, что рынок находится в состоянии s1,

p(s2) - вероятность того, что рынок находится в состоянии s2,

p(s3) - вероятность того, что рынок находится в состоянии s3,

Активы представленные на рынке будем обозначать  А1, А2, А3,…

Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в процентах.

Состояния	Вероятности	Доходность актива A1 (%)	Доходность актива A2 (%)	Доходность актива A3 (%)
s1	p(s1)	r11	r12	r13
s2	p(s2)	r21	r22	r23
s3	p(s3)	r31	r32	r33

Доходность актива Ai (I = 1, 2, 3) можно рассматривать как дискретную случайную величину, которая принимает значение r1i с вероятностью p(s1), значение r2i с вероятностью p(s2), значение r3i с вероятностью p(s3). Обозначим эту случайную величину Ri.

Тогда ожидаемую доходность актива Ai можно тогда предположить равной ожидаемому значению случайной величины Ri. Из курса теории вероятностей ожидаемое значение случайной величины – математическое ожидание этой случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины Ri вычисляется по формуле

  M(Ri) = r1i p(s1) + r2i p(s2) + r3i p(s3)         (8-1)

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины - оно представляет собой число, вокруг которого “группируются” значения этой случайной величины

Пример 8.1. Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех активов в каждом из трех состояний рынка. Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в процентах.

Состояния	Вероятности	Доходность актива A1 (%)	Доходность актива A 2 (%)	Доходность актива A3 (%)
s1	0,3	20	30	-10
s2	0,6	20	5	15
s3	0,1	5	-20	15

Найти ожидаемую доходность для каждого актива.

Решение

Согласно формуле (2-1) получаем для первого актива (i = 1)

M(R1) = r11 p(s1) + r21 p(s2) + r31p(s3)         = 20?0,3 + 20?0,6 + 5?0,1 = 18,5

для второго актива (i = 2)

M(R2) = r12 p(s1) + r22 p(s2) + r32p(s3)         = 30?0,3 + 5?0,6 + (-20)?0,1 = 10

для третьего актива (i = 3)

M(R3) = r13 p(s1) + r23 p(s2) + r33p(s3)         = (-10)?0,3 + 15?0,6 + 15?0,1 = 7,5

Ответ: Ожидаемая доходность 1 актива 18,5%, ожидаемая доходность 2 актива 10%, ожидаемая доходность 3 актива 7,5%.  ¦

Однако математическое ожидание не единственная характеристика случайной величины. Второй характеристикой случайной величины является дисперсия случайной величины. Дисперсия характеризует “степень отклонения” случайной величины от ее среднего значения. 

Дисперсия (или вариация) случайной величины Ri вычисляется по формуле

  D(Ri) = ( r1i - M(Ri))2p(s1) + ( r2i - M(Ri))2p(s2) + ( r3i - M(Ri))2p(s3)  (8-2)

В теории инвестиций Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия “ожидаемой доходности актива”, а дисперсия служит мерой риска актива. Другими словами полагают, что дисперсия D(Ri) случайной величины (доходности) Ri задает ожидаемый риск при вложении средств в покупку актива ai.

Из определения дисперсии видно, что она имеет размерность квадрата размерности величины  Ri. Для того, чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратическое отклонение

  ?i =?(Ri) =v?D(Ri)  (2-3)

Пример 2.2.

Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех активов в каждом из состояний рынка (см. пример 2.1.). Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в процентах. Найти ожидаемый риск при вложении средств в покупку каждого актива.

Решение

Согласно формуле (8-2) получаем для первого актива (i = 1)

  D(R1) = ( r11 - M(R1))2p(s1) + ( r21 - M(R1))2p(s2) + ( r31 - M(R1))2p(s3)=

= (20 -18,5)2?0,3 + (20 -18,5)2?0,6 + (5 -18,5)2?0,1 = 20,25

для второго актива (i = 2)

  D(R2) = ( r12 - M(R1))2p(s1) + ( r22 - M(R2))2p(s2) + ( r32 - M(R2))2p(s3)=

= (30 -10)2?0,3 + (5 -10)2?0,6 + (-20 -10)2?0,1 = 225

для третьего актива (i = 3)

D(R3) = ( r13 - M(R3))2p(s1) + ( r23 - M(R3))2p(s2) + ( r33 - M(R3))2p(s3)=

= (-10 - 7,5)2?0,3 + (15 - 7,5)2?0,6 + (15 –7,5)2?0,1 = 131,25

Среднеквадратические отклонения, вычисляемые по формуле (2-3)

?(R1) =v?D(R1) =  4,5 ; ?(R2) =v?D(R2) = 15; ?(R3) =v?D(R3) = 11,46

Ответ: Ожидаемый риск 1 актива 4,5%, ожидаемый риск 2 актива 15%, ожидаемый риск 3 актива 11,46%.  ¦

Оценкой актива ai будем называть пару величин (M(Ri); D(Ri)), где M(Ri) – ожидаемая доходность актива ai, D(Ri) – ожидаемый риск

9. Коэффициенты ковариациии корреляции (вероятностная модель)

Для инвестирования капитала лишь в актив одного вида необходимо, чтобы из всех имеющихся на рынке активов он был наилучший, т. е. его ожидаемый  риск (дисперсия) был наименьшим, а ожидаемая доходность наибольшей.  Что же должен делать инвестор, если такого актива на финансовом рынке не существует?  В этом случае выгоднее купить не один актив, а несколько стремясь перераспределить (диверсифицировать) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации.

Пусть имеются активы  A1, A2, A3  и пусть задана таблица годовых доходностей для этих активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в процентах.

Состояния	Вероятности	Доходность актива A1 (%)	Доходность актива A2 (%)	Доходность актива A3 (%)
s1	p(s1)	r11	r12	r13
s2	p(s2)	r21	r22	r23
s3	p(s3)	r31	r32	r33

Пусть доходность актива Ai задается случайной величиной Ri. Тогда коэффициентом ковариации двух случайных величин Ri и Rj называется величина

cov(Ri, Rj)=(r1i–M(Ri))(r1j–M(Rj))p(s1)+(r2i–M(Ri))(r2j – M(Rj))p(s2)+(r3i–Ri))(r3j–M(Rj))p(s3).(9-1)

В дальнейшем коэффициент ковариации двух случайных величин Ri  и  Rj будем обозначать

cov(Ri, Rj) = cij.

Например, для двух случайных величин R1 и R2  (i = 1, j = 2) получаем

c12  = (Ri, Rj) = (r11 – M(R1))( (r12 – M(R2) p(s1) +

        + (r21 – M(R1))( (r22 – M(R2) p(s2) +                                (9-2)

  + (r31 – M(R1))( (r32 – M(R2) p(s3).                        

Свойства коэффициента ковариации

1. Для любых i и j  верно утверждение о симметричности коэффициентов ковариации

cov(Ri, Rj) = cov(Rj, Ri)  или         cij. = cji.

2. Для любых i «диагональные» коэффициенты ковариации сii представляют собой

дисперсии (вариации) доходностей активов:

cii  = cov(Ri, Ri) =D(Ri)

Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами прибегают к нормированию коэффициента ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции

  cor(Ri, Rj) =.         (9-3)

В статистике коэффициент корреляции часто обозначают греческой буквой ?.

Так коэффициент корреляции двух случайных величин Ri и Rj можно обозначить символом ?ij

cor(Ri, Rj) =?ij.

Свойства коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции любых двух двух случайных величин Ri и Rj по модулю (по абсолютной величине) меньше 1:

|?ij | = | cor(Ri, Rj) | ? 1

или, что то же самое,

-1 ? ?ij = cor(Ri, Rj) ? 1

Пример 4.1. Пусть задана таблица годовых доходностей (см. пример 2.1.) для некоторых трех активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в процентах.