Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 10 )

       Мы  изложим  в общем  виде  теорию возмущений. Ее  приложения к решению конкретных задач  будут проиллюстрированы  в дальнейшем на  многочисленных примерах.

       Рассмотрим  прежде  всего  простейший  случай  квантовомеханической  системы, у которой оператор Гамильтона не  зависит  от времени явно.

       Предположим, что  оператор  можно  представить в виде

,

где оператор можно считать  малым  по  сравнению с  оператором  (что именно понимается под словом «малый», поясним ниже). Тогда уравнение Шредингера приобретает вид

       Предположим  далее, что  решение  уравнения

известно. Тогда для  решения уравнения  можно воспользоваться  методом, представляющим  по  существу метод  последовательных  приближений. В дальнейшем  гамильтониан и волновую  функцию будем  именовать невозмущенными, а оператор - оператором возмущения. «Малость» оператора означает, что  под действием  возмущения состояние  системы  должно изменяться сравнительно слабо. Нашей задачей является  нахождение  решения  уравнения  Шредингера  в предположении, что  волновая  функция невозмущенной системы известна. Мы  будем рассматривать возмущения состояний, принадлежащих дискретному  спектру оператора .  При этом, однако, оператор может  помимо  собственных значений, принадлежащих дискретному спектру, иметь и  собственные значения непрерывного спектра.

       Решение  уравнения  ищем ряда по  собственным  функциям оператора

Если  оператор обладает  также и  непрерывным  спектром, то  мы  должны добавить к сумме соответствующий  интеграл, взятый по  непрерывному спектру. Подставляя  сумму  в  уравнение  получаем:

.

Умножим  левую и  правую части  уравнения на и проинтегрируем  его  по  всей  области  изменения  независимых переменных. Воспользовавшись ортогональностью функций , находим

 

где

есть матричный элемент  оператора возмущения, вычисленный  с помощью волновых функций невозмущенной задачи. Система  уравнений в  точности эквивалента уравнению Шредингера. Она представляет уравнение Шредингера  в энергетическом  представлении. Воспользуемся теперь  нашим  предположением  о  малости  оператора возмущения. При этом уровни энергии и волновые функции в нашей задаче будут близки к соответствующим значениям невозмущенной системы. Поэтому будем искать их  в виде следующего ряда:

Здесь - невозмущенные значения. Поправки того же  порядка малости, что и возмущение,  - квадратичны по возмущению и т. д.

Мы  неоднократно  отмечали  существование  принципа  соответствия  и правила  перехода  соотношений квантовой  механики в формулы классической  механики  при .  Сейчас  мы уточним  условия  этого  перехода и вместе  с тем  получим  важный  приближенный метод  решения уравнения Шредингера.

       Если  положить непосредственно  в  уравнении Шредингера

,

то  оно теряет  смысл. Поэтому, чтобы  произвести  указанный  предельный переход,  представим волновую функцию в виде

.

Представляя это  выражение  в  уравнение  получаем уравнение для  функции :

.

       Формально разложим теперь  функцию по  степениям величины

Представляем это  разложение в уравнение и  приравниваем  коэффициенты при  одинаковых степениях . С точностью  до  членов, пропорциональных первой степени  величины , получаем два уравнения:

Первое уравнение совпадает с уравнением  Гамильтона – Якоби классической  механики для функции действия .

Тема: Спин и волновая функция частицы со спином. Полный угловой момент частицы и системы частиц. Уравнение Шредингера для частицы со спином. Обменное взаимодействие в системе тождественных частиц

Обратимся к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита.

В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций спина на оси координат через . Чтобы определить вид этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального момента . Тогда

,

,

.

Проекция спина на любое направление (по исходной гипотезе) может принимать два значения: . Поэтому опреторы должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональныму виду, содержит лишь два диаганальных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения. Полагая

    ,

Мы можем сказать, что операторы (спиновые матрицы) должны быть двухрядными марицами вида

,  ,  ,