Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 12 )

       Соответственно этому волновую функцию , определяющую состояние электрона, следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая – к спину (). Например, в координатном представлении для электрона следует писать

.

       Так как спиновая переменная имеет только два значения , то можно сказать, что вместо одной функции мы получаем две:

,

Эти функции мы будем иногда писать в виде матрицы с одним столбцом

,

а сопряженную функцию – в виде матрицы с одной строкой

.

Такой способ написания позволит воспользоваться правилами.

       Ясно, что волновые функции и будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести. Такая связь существует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров. Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении

.

Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей спином, пишут функцию в виде, соответствующем разделению переменных

,

где через обозначена спиновая функция. По существу это через значок, указывающий состояние спина частицы.

Мы  перейдем  теперь к  рассмотрению свойств систем, состоящих из  одинаковых частиц. Одинаковыми  частицами мы будем называть частицы, имеющие одинаковые массу , заряд , спин и т. д., так что  в равных условиях (внешнее поле, присутствие других частиц) такие частице ведут себе одинаковым образом.

Обозначим  массу  частиц  через ,  энергию  во  внешнем  поле через , а энергию взаимодействия -й и –й частиц через , тогда гамильтониан системы таких частиц будет  равен

Опираясь  на это свойство  гамильтониана, докажем  важную вспомогательную теорему относительно  волновых функций, описывающих состояние системы частиц есть ; она должна удовлетворять уравнению Шредингера

.

Тема: Волновая функция системы частиц. Операторы физических величин системы частиц. Уравнение Шредингера для системы частиц. О способах сведения задачи многих тел к одночастичной задаче. Системы тождественных частиц. Принцип Паули

В квантовой  механике  принципиально  не  существует  никакой  возможности следить  в отдельности за каждой  из  одинаковых  частиц и тем  самым  различать их.  Можно сказать, что  в квантовой  механике одинаковые частицы полностью теряют свою «индивидуальность». Одинаковость  частиц  по их  физическим  свойствам  имеет здесь весьма глубокий характер она приводит к  полной неразличимости частиц.

Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль при  квантово - механическом исследовании систем, состоящих из одинаковых частиц.

Волновая  функция  одинаковых  частиц должна либо  совершенно  не меняется при перестановке любой пары  частиц (а  потому  и при  всякой  вообще  взаимной перестановке частиц), либо  менять знак при  перестановке  каждой пары. В первом  случае говорят о симметричной, а во втором случае – об антисимметричной волновой функции. 

       Свойство описываться либо симметричными, либо антисимметричными  волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как  о  подчиняющихся статистике Ферми - Дирака или  о фермионах, а о частицах,  описывающихся симметрическими функциями - как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна  или  о  бозонах. 

Рассмотрим систему, состоящую из одинаковых частиц, взаимодействием  которых  друг с другом  можно  пренебречь. Пусть - волновые  функции различных  стационарных состояний, в которых  может  находиться каждая  из частиц  в  отдельности. Состояние  системы  в целом  можно  определять перечислением  номеров  состояний, в которых может находиться  каждая  из частиц в  отдельности. Состояние  системы  в целом можно  определять  перечислением номеров  состояний, в которых находятся отдельные частицы.  Возникает  вопрос о том,  каким  образом должна быть  составлена из  функций  волновая  функция всей  системы  в целом.

Пусть - номера  состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров  могут  быть  и одинаковые). Для  системы бозонов волновая функция  выражается суммой произведений вида: 

,

со всеми возможными  перестановками  различных индексов ; такая сумма  обладает, очевидно, требуемым  свойством  симметрии. Так, например, для  системы  из двух  частиц

(предполагаем, что ). Множитель введен для  нормировки (все функции взаимно ортогональны и предполагаются нормированными).

Для системы  фермионов  волновая  функция есть антисимметричная  комбинация  указанных  произведений. Она  может быть  написана  в виде детерминанта

Перестановке двух  частиц  соответствует здесь перестановка двух столбцов детерминанта, в  результате  чего  последний, как  известно,  меняет знак. Для  системы, состоящей  из двух  частиц, имеем:

Из  выражения  вытекает следующий важный  результат. Если  среди  номеров есть  какие – нибудь  два  одинаковых, то две  строки детерминанта  окажутся  одинаковыми и весь детерминант обратится тождественно в нуль. Он  будет отличным от  нуля только в тех случаях, когда все номера различны. Таким  образом  в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном  и том же состоянии  две (или более) частицы. Это есть так называемый принцип Паули (1925).

       Возможные  значения  энергии  системы  электронов оказываются зависящими от ее  полного  спина.  На этом  основании  можно  говорить  о  некотором  своеобразном  взаимодействии  частиц, приводящем к этой зависимости. Это  взаимодействие называют «обменным». Оно  представляет собой  чисто  квантовой  эффект,  полностью  исчезающий (как  и  самый  спин) при  предельном  переходе к  классической механике.