Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 3 )

       Под оператором будем понимать рецепт или правило, по которому одной функции переменных сопоставляется другая функция тех же переменных.

       В дальнейшем операторы мы будем обозначать при помощи букв со шляпкой, например . С помощью символа правило перехода от функции можно записать в виде

.

       Нас будут интересовать лишь такие уравнения, которые приводят только к вещественным собственным значениям. Оказывается, что существует класс операторов, которые могут обладать только вещественными собственными значениями. Такие операторы носят название эрмитовых или самосопряженных. Каждому линейному оператору можно сопоставить некоторый другой оператор , который мы будем называть оператором, сопряженный к данному, или эрмитово сопряженным. Сопряженный оператор определяется условием

.

       Здесь, как всегда, звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины.

       Если оператор совпадает со своим сопряженным оператором , то такой оператор называют эрмитовым или самосопряженным.

       Соотношение в этой случае иммет вид

.

       Здесь мы через обозначили оператор, определяемый соотношением

.

       В качестве примера найдем оператор, сопряженный к оператору дифференцирования . Полагая, что функции обращаются в нуль на бесконечности, получаем, производя интегрирование по частям:

.

       Сравнивая находим оператор

.

Мы видим, что оператор в данном случае не совпадает с оператором , т. е. оператор дифференцирования не является сомасопряженным. Если, однако, в качестве оператора взять оператор , то легко видеть, что такой оператор уже будет эрмитовым.

Тема: Свойства собственных функций операторов. Собственные значения и собственные функции операторов импульса и орбитального момента. Средние значения физических величин. Условия совместной измеримости наблюдаемых величин. Соотношение неопределенностей физических величин.

       Рассмотрим операторное соотношение

       Это соотношение означает, что при применении оператора к функции снова получается функция , умноженная на некоторую постоянную соотношению может удовлетворять отнюдь не всякая функция . Иными словами, соотношение является уравнением. Вид функции может быть получен путем решения уравнения. Если оператор является линейным дифференциальным оператором, то уравнение будет дифференциальным уравнением. Поскольку из вида уравнения сразу ясно, что является его тривиальным решением, представляет линейное однородное дифференциальное уравнение. Исследование таких линейных однородных уравнений является важнейшей задачей теории операторов.

       В дальнейшем нас будут интересовать не любые операторы и функции , а лишь функции, удовлетворяющие определенными условиям:

1) функция должна существовать во всей области измерения независимых переменным. Например, в случае декартовых координат, в области ;

2) в области существования функции  должна быть конечной и непрерывной, вместе со своей первой производной, за исключением, может быть, особых точек;

3) функция должна быть однозначна.

       Совокупность условий 1) – 3) мы будем именовать стандартными условиями. Оказывается, что уравнение вообще говоря, имеет решения, отличные от тривиального и удовлетворяющие стандартными условиям не при всех значениях параметра F, а лишь при некоторых избранных его значениях. Избранные значения F, при которых существуют нетривиальные решения уравнения, именуются собственными значениями оператора , а соответствующие им решения уравнения собственными функциями оператора .

       Собственные функции линейного эрмитового оператора , отвечающие различным собственным значениям и , взаимно ортогональны, т. е. удовлетворяют соотношению

  (при )

       Действительно, функции и удовлетворяют уравнениям

, 

Поскольку оператор эрмитов, имеем

       Имея в виду дальнейшее, мы будем нормировать собственные функции дискретного спектра условием

Собственные функции, удовлетворяющие соотношению, мы будем именовать нормированными на единицу. Формулы объединим в одну

где - символ Кронекера:

 

       Собственные функции сплошного спектра удобно нормировать на - функцию Дирака, так что условия ортогональность и нормировки могут быть выражены

.

       Под средним мы, как всегда, понимаем математическое ожидание (среднее арифметическое) данной величины.