Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 7 )

Тема: Общие свойства движения в центрально-симметричном поле. Свободное движение частицы. Частица в кулоновском поле.

       Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице – аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами , ), взаимодействующих по закону (- расстояние между частицами), имеет вид:

где - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц и новые переменные и :

есть вектор взаимного расстояния, а - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату

( и - операторы Лапласа соответственно по  компонентам  векторови полная масса  системы, так  называемая  приведенная  масса). Таким  образом  гамильтониан распадается  на сумму  двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде  произведения , где  функция описывает  движение центра инерции (как  свободное движение частицы с массой  ), а описывает  относительное  движение  частиц (как  движение  частицы массы в  центрально - симметрическом поле ).

       Уравнение  Шредингера для  движения  частицы в  центрально - симметрическом поле  имеет вид:

Воспользовавшись  известным  выражением  для оператора Лапласа в  сферических координатах,  напишем  это  уравнение  в виде:

Если вести сюда  оператор квадрата момента, то мы  получим

При движении  в центрально - симметрическом поле момент  количества движения  сохраняется. Будем  рассматривать  стационарные состояния, в которых и имеют  определенные  значения. Другими  словами, ищем общие  собственные  функции операторов и .

       Требование, чтобы было  собственной  функцией  операторов и , определяет  ее  зависимость  от углов. Соответственно этому,  ищем  решения  уравнения  в виде:

,

где  функций  определяются  формулами

       Поскольку , то  для  «радиальной функции» получаем  уравнение

Заметим,  что  это  уравнение  не  содержит вовсе значения , что  соответствует  известному  уже нам кратному  вырождению уровней.

       Займемся  исследованием  радиальной  части  волновых функций. Подстановкой

уравнение  приводится  к виду:

Если  потенциальная  энергия везде  конечно, то должна  быть  конечной во всем  пространстве, включая начало  координат, также и волновая  функция ,а следовательно, и ее  радиальная  часть . Отсюда следует, что должна обращаться при   в нуль:

В действительности  это  условие сохраняется также и для  поля, обращающегося при в бесконечность.

       Условие нормировки для радиальной  функции определяются  интегралом , а для функции ,  следовательно, интегралом        .

       Уравнение  формально  совпадает  с уравнением  Шредингера для  одномерного  движения  в поле  с  потенциальной  энергией

равной сумме  энергии и члена

который  можно  назвать  центробежной  энергией. Таким образом  задача о движении в  центрально - симметрическом поле сводится к задаче об  одномерном  движении в области, ограниченной с  одной стороны (граничное условие при ).

Волновая  функция  свободно  движущейся частицы

описывает  стационарное  состояние, в котором частица обладает определенным импульсом (и  энергией ).