Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 18 )

Гайтлер и Лондон, теорию которых мы хотим изложить, использовали в своих расчетах метод теории возмущения. Этот метод хотя и дает не слишком хорошие количественные результаты (это связано с тем, что параметр разложения оказался не очень малой величиной), однако он позволяет полностью вскрыть физическую природу происхождения гомеополярной связи.

       Молекула водорода состоит из двух протонов (ядер) и двух электронов, которые пронумерованы индексами.

       Обозначим расстояние между ядрами через R, которое при исследовании движения электронов можно считать постоянной величиной.

       Обозначим далее через и радиус-векторы, характеризующие положение первого и второго электрона относительно ядра , а через  и  – относительно ядра  , причем

.

Тогда уравнение Шредингера для молекулы водорода может быть записано в виде:

,

причем в гамильтониане

,

учтены все шесть возможных кулоновских энергией взаимодействия между электронами и ядрами

,

.

принимая во внимание, что при  ,

,

мы можем оператор кинетической энергии записать как через нештрихованные, так и через штрихованные координаты:

где

,

Решая эту задачу по методу теории возмущений, мы должны гамильтониан разбить на нулевое и первое приближение.

       Можно получить выражение для кулоновской энергии:

,

причем в случае малых значений  имеем:

.

Точно так же при малых значениях после довольно сложных выкладок получаем обменную энергию: 

.

       Целью проведения практических занятий является помощь в освоении теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении задач.

       При решении задач рекомендуется определенная последовательность.

Необходимо:

- изучить теоретический материал по теме;

- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. Рисунок должен  быть достоверным (например, равные по модулю силы изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т. д.);

- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ;

- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;

- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;

- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы;

-выполнить числовые расчеты;

- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.

3. Практические занятия

       Целью проведения практических занятий является помощь в освоении теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении задач.

       При решении задач рекомендуется определенная последовательность.

Необходимо:

- изучить теоретический материал по теме;

- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. Рисунок должен  быть достоверным (например, равные по модулю силы изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т. д.);

- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ;

- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;

- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;

- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы;

-выполнить числовые расчеты;

- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.

Тема: Операторы в квантовой механике.

Цель занятия: рассмотреть свойства линейности и эрмитовости операторов, правила умножения операторов, вычисление коммутаторов.

Примеры решения задач

Задача 1. Является ли оператор комплексного сопряжения линейным оператором?

Решение

Если  и , то  .

Значит, оператор комплексного сопряжения не является линейным, так как в общем случае и .

Задача 2. Является ли оператор комплексного сопряжения эрмитовым оператором? Чему равен оператор, комплексно-сопряженный оператору комплексного сопряжения?

Решение

       Комплексносопряженным оператором по отношению к оператору называется оператор , для которого выполняется условие

.

Для оператора комплексного сопряжения это условие принимает вид: . Поэтому . Но . Значит, оператор равен оператору . Оператор комплексного сопряжения не является эрмитовым, так как

.

Задача 3. Доказать следующие коммутационные соотношения:

а) ;  б)  .

Решение

а)

б).

Задачи для самостоятельного решения

Возвести в квадрат оператор . Найти коммутатор . Найти коммутатор оператора и оператора Лапласа.

Тема: Операторы физических величин.

Цель занятия: выработать умение применять теорию линейных операторов к вычислению конкретных операторов координаты, импульса, кинетической энергии и оператора Гамильтона.

Примеры решения задач

Задача 1. Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю.

Решение

. Поэтому среднее значение проекции импульса частицы равно . Пользуясь эрмитовостью гамильтониана , получим:

.