Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 6 )

где - новая неизвестная функция, которая при ведет себя как . Подставляя, приходим к следующему уравнению для функции :

Поскольку точка не является особой точкой уравнения, решение этого уравнения будем искать в виде степенного ряда

Производные и имеют вид

Подставляем ряды в уравнение, получаем

Для того чтобы степенной ряд вида был тождественно равен нулю, необходимо, чтобы обращались в нуль все коэффициенты . Полагая равным нулю коэффициент при , получаем рекуррентную формулу

.

Нетрудно видеть, что при такой ряд ведет себя, как , так как в этом случае существенны большие и дает . При этом функция неограниченно возрастает. Но такое решение должно быть опущено.

       Мы получим решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности и ведущее себя при как только в том случае, если ряд сведется к полиному, т. е. оборвется на каком-то члене. Так, предположим, что , . Тогда все последующие коэффициенты также обратятся в нуль, и функция сведется к полиному -й степени.

При этом выполняется условие

,

где  - целое число, , так как - это номер члена, на котором ряд обрывается.

       Подставляя значение , получаем

.

Отсюда видно, что энергия осциллятора может принимать только дискретные значения, причем уровни энергии расположены друг от друга на одинаковых расстояниях, равных .

       Выпишем волновую функцию, отвечающую -му возбужденному уровню энергии в виде

,

где - полином -й степени с коэффициентами, определяемыми соотношением и - множитель, определяемый условием нормировки. Полиномы носят название полиномов Чебышева – Эрмита и обозначаются через . Полиномы Чебышева – Эрмита часто представляют в виде

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

       Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рисунке типа: монотонно возрастает от одного постоянного предела при ) до другого при ). Согласно классической механике, частица с энергией , движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до «потенциальной стенки», «отражается» от нее, начиная двигаться в обратном направлении; если же , то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с уменьшенной скоростью. В квантовой механике возникает новое явление – даже при частица может «отразиться» от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться, принципиально, следующим образом.

       Пусть частица движется слева направо. При больших положительных значениях волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направлении оси , т. е. должна иметь асимптотический вид:

при  : ,

(А - постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при ; оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет вид

при ,  .

       Первый член соответствует падающей на «стенку» частице (предполагаем нормированной таким образом, чтобы коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от «стенки» частицу. Плотность потока вероятности в падающей волне пропорциональна , в отраженной: , а в прошедшей: . Определим «коэффициент прохождения» частицы как отношение плотности потока вероятности в прошедшей волне к плотности потока в падающей:

.

Аналогично можно определить «коэффициент отражения» как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевидно, что :

(это соотношение между А и В выполняется автоматически).

       Если частица движется слева направо с энергией , то чисто мнимо, и волновая функция экспоненциально затухает при . Отраженный поток равен падающему, т. е. происходит «полное отражение» частицы от потенциальной стенки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахождения частицы в области, где , все же отлична от нуля, хотя и быстро затухает с увеличением .