Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 14 )

       В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только при переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз».

       Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего электромагнитного поля) переходы системы с одного энергетического уровня на другой.

       Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной системы находится на возбужденном уровне с энергией . Тогда для такого электрона существует определенная вероятность , отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние с энергией . При этом происходит испускание фотона с энергией . Если число подобных возбужденных атомов равно , то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может быть записана в виде

.

        Если же атомы подвергнуть воздействию со стороны внешнего электромагнитного излучения, то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов.

       Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного перехода с уровня на через , а с уровня на через . Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно быть пропорционально спектральной плотности падающего излучения, находим соответственно для энергии излучения и поглощения, обусловленной вынужденными переходами:

,

,

где - число атомов в состоянии . Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т. е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково:

.

       Учитывая, что в этом случае распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла

,

получаем

.

Отсюда, сокращая на множитель и принимая во внимание, что , имеем:

.

Выражение для коэффициента спонтанного излучения может быть написано, если исходить из принципа соответствия путем сравнения квантовой формулы с соответствующей формулой классической теории.

       Подобное сравнение мы произведем на примере гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется формулой:

.

По квантовой же теории она определяется выражением, которое при наличии одного осциллятора дает

.

Предположим, что коэффициент спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента

.

При переходах сверху вниз отличным от нуля будет только матричный элемент

,

причем

.

Отсюда, приравнивая классическое приближение квантового выражения для энергии излучения  соответствующему классическому выражению, мы найдем уравнение для определения постоянной С:

.

Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента спонтанного излучения:

.

Далее, если считать известной еще формулу Планка

,

то, сопоставляя ее с формулой, можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов

.

       Для интенсивности излучения  имеем:

.

Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения, тем не менее его нельзя признать последовательным.

       Для описания движения электронов в поле фотонов реально существующих (обусловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т. е. еще не появившихся (обусловливающих спонтанные переходы), воспользуемся нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид

.

Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные , и учитывая условие поперечности электромагнитных волн поля фотонов , а также соотношение

,

что приводит к коммутативности (в скалярном произведении) оператора р с вектор-потенциалом А

,

мы можем уравнение привести к виду

.

Здесь гамильтониан при отсутствии поля фотонов не зависит от времени

,

а потенциальная энергия, получившая название энергии возмущения, равна:

.

       Заметим, что далеко не все волновые уравнения могут быть решены точно. Это замечание относится также и к нашему уравнению. Для решения подобных уравнений приходится прибегать к различным приближенным методам. Одним из таких методов, получившим наиболее широкое распространение, является метод теории возмущений. Этот термин заимствован из астрономии, где он с успехом использовался при исследовании движения двух или более планет вокруг Солнца с учетом взаимодействия планет между собой. Последнее дает некоторое «возмущение» по сравнению с кеплеровским движением.

       Метод теории возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда так называемая энергия возмущения приводит к небольшим поправкам к основному (т. е. без ) решению.

       Последовательное вычисление этих поправок (первое, второе, третье и т. д. приближение) дает, как правило, разложение по некоторому параметру.

       В квантовой механике развиты два основных метода теории возмущений: 1) метод теории возмущений Шредингера; 2) метод теории возмущений Дирака.