Нахождение законов сохранения в квантовой механике столь же существенно для исследования движения системы, как и в классической механике. Как и в классической механике, законы сохранения импульса и момента количества движения тесно связаны со свойствами однородности и изотропии пространства. Так, из изотропии пространства следует, что гамильтониан замкнутой системы или системы в поле сил с центральной симметрией не должен изменяться при произвольном бесконечно малом повороте. Математически это выражается в том, что гамильтониан 
должен коммутировать с оператором поворота 
. Но оператор поворота на малый угол вокруг некоторой оси (например оси 
), как мы знаем связан простым образом с оператором проекции момента количества движения на эту ось. Поэтому следствием коммутации оператора 
с гамильтонианом 
является коммутация с гамильтонианом оператора 
, откуда и вытекает закон сохранения этой лишь на малый угол, несущественно, поскольку поворот на конечный угол можно разбить на совокупность малых поворотов.
Итак, мы видим, что сохранение момента количества движения связано с изотропией пространства.
Аналогичным образом легко видеть, что сохранение импульса связано с однородностью пространства.
Закон сохранения энергии замкнутой системы или системы в стационарных внешних полях можно связать с произвольностью выбора начала отсчета времени (однородность во времени). Это означает, что законы движения системы не должны зависеть от выбора начала отсчета времени.
Рассмотренные выше законы сохранения – закон сохранения энергии, импульса и момента количества движения являются квантомеханическими аналогами законов сохранения классической механики. Оказывается, однако, что в квантовой механике существуют и законы сохранения, не имеющие классического аналога. Один из таких законов тесно связан со свойствами пространства и имеет весьма общий характер. Именно, гамильтониан замкнутой системы не должен изменяться при следующих преобразованиях координат:
, при которой знаки всех координат изменяются на обратные. О частицах, которые описываются волновыми функциями, удовлетворяющими условию
говорят, что они обладают положительной внутренней четностью. Наоборот, частицы, которые описываются волновыми функциями, удовлетворяющими условию
,
имеют отрицательную внутреннюю четность.
Наряду с другими законами сохранения закон сохранения четности является одним из наиболее общих законов природы. Невозможность переходов замкнутой квантомеханической системы из состояний с одной четностью в состояния с другой четностью – так называемых запрещенных переходов, подтверждается обширным экспериментальным материалом как атомной, так и ядерной физики. Однако в последнее время было установлено, что закон сохранения четности не является универсальным физическим законом. При некоторых процессах, происходящих с элементарными частицами, закон сохранения четности нарушается.
Тема: Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Линейный гармонический осциллятор. Туннельный эффект.
Прежде чем перейти к рассмотрению реальных атомных систем, обсудим общие свойства решений уравнения Шредингера на некоторых простейших моделях. Рассмотрим прежде всего одномерное движение частицы в потенциальном поле, определенном следующим образом:
при 
при 
и 
Подобное потенциальное поле мы будем именовать бесконечно глубокой потенциальной ямой. Ясно, что в такой яме частица может двигаться только в области пространства 
.
Решение уравнения Шредингера следует написать в двух областях: вне потенциальной ямы и внутри нее. Поскольку частица не может находиться вне потенциальной ямы, ее волновая функция равна нулю вне промежутка 
. Из условия непрерывности следует, что она равняется нулю также и в точках 
и 
, т. е.
.
Это требование служит граничным условием для решения уравнения Шредингера внутри потенциальной ямы. В области 
уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
Решение последнего уравнения можно, очевидно, записать как
,
где 
. используем теперь граничные условия. Из соотношения 
при 
следует 
. Условие 
дает
где 
любое целое число, большее нуля. В дальнейшем оно будет именоваться квантовым числом. При 
мы имели бы 
, что означало бы отсутствие частицы во всем пространстве. Условие позволяет найти возможные значения энергии частицы
.
Мы видим, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа 
. Таким образом, энергия частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме оказывается квантованной.
Рассмотрим несколько подробнее свойства волновых функции частицы в потенциальной яме. Волновая функция, отвечающая 
му уровню энергии, имеет вид
.
Постоянную 
определим из условия нормировки
.
Тогда
.
Отсюда
.
Таким образом, значение постоянной не зависит от квантового числа 
.
Переходим к более сложным квантомеханическим системам. Мы остановимся на теории линейного гармонического осциллятора. Такой осциллятор представляет квантовой аналог частицы, совершающей малые линейные колебания около положения равновесия. Примером малых колебаний в атомных системах могут служить малые колебания атомов в молекуле.
Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора дается известной формулой 
. Поэтому уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора имеет вид
.
При его решении удобно перейти к безразмерным переменным
; 
.
В новых обозначениях уравнение Шредингера приобретает вид
.
Будем пытаться искать решение уравнения в виде
,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 |
