Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 11 )

Имеющими собственные значения . Подставляя и сокращения на , получаем

,

,

.

Ввиду того, что собственные значения равны , то собственные значения опреаторов суть . Стало быть, в своем собственном представлении эти последние матрицы должны иметь вид

,

т. е. они являются единичными матрицами :

.

Единичная матрица остается единичной во всяком представлении. Рассмотрим теперь комбинацию

.

На основании это можно переписать в виде

;

но есть единичная матрица, поэтому

.

Следовательно,

,

т. е. матрицы как говорят, антикоммутируют.

       Комбинируя применяя циклическую перестановку находим

,

,

.

Найдем теперь явный вид матриц . Пусть, скажем, матрица приведена к диаганальному виду. Так как ее собственные значения равны , то диагональный вид будет

Можно показать, что в этом же представлении остальные две матрицы будут иметь вид

Для доказательства образуем произведения и . По правилу матричного умножения имеем

  ,

.

На основании имеем

,

или

,

т. е.

.

Поэтому матрица имеет вид

.

Образуем теперь :

.

Сравнивая получаем, что . Матрица должна быть самосопряженной, т. е. . Стало быть,

       Отсюда получаем

,

где - действительное число.

       Подобным же образом находим, что

.

Перемножая теперь на а потом на   получим

откуда

т. е. . Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении . Поэтому без всяких ограничений мы можем взять .

       Получаем матрицы операторов в представлении, в котором диагонально ( - представление):

,  ,  .

Заметим, что знаки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц и , приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: значок 1 относится к первому собственному значению , а 2-ко второму .

       Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Имеем

.

       Вводя квантовые числа и , определяющие значение проекции спина на любое направление и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии для орбитального момента

,  ,

,  .

       Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением  (или ) и проекцией спина на какое-либо направление . Первая величина () предполагается для всех электронов одинаковой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной . Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона ( или  и т. п.), появляется еще одна переменная , определяющая спин электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы.