Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 13 )

Тема: Оператор Гамильтона и уравнение Шредингера для атома. Одночастичные состояния электронов в атоме. LS – связь. jj – связь. Атом водорода. Энергетические уровни щелочных элементов

Детально  рассмотренный  атом  водорода  является простейшей одноэлектронный  системой. Переходя к изучению многоэлектронных систем, естественно обратиться прежде всего  к исследованию свойств атома гелия,  в котором ядро имеет  бесконечно большую массу.  Поэтому, считая его  неподвижным, запишем гамильтониан системы из двух электронов в виде

.

       Здесь и – радиусы - векторы первого и второго электронов, – расстояние между ними. Третий и четвертый  члены выражают потенциальную энергию электронов в поле ядра, последний член-энергию кулоновского взаимодействия между электронами.

       Следует  отметить,  что представление гамильтониана в такой форме связано с рядом приближений. Электроны обладают магнитными  моментами. Далее  магнитные моменты (спиновый и орбитальный) также  взаимодействуют  друг с другом. Мы, однако, не будем исследовать  подробно эти  эффекты, имеющие характер малых поправок.

       Так как гамильтониан системы  не содержит спиновых  операторов, то  решение уравнения следует искать  в виде  произведения функций, одна из которых зависит только от  координат, другая - от  спина

.

       Из  общих  соображений легко установить, к  какой группе  состояний относится основное  состояние гелия, которое, как известно, описывается волновой функцией, не  имеющей узлов. Очевидно, что  этой  функцией не может быть  антисимметричная  координатная функция, так как  последняя при обращается в нуль.

       Действительно, если Ф- антисимметричная функция двух переменных и то она удовлетворяет соотношению

При мы имеем

       Таким  образом, мы видим, что  в нормальном состоянии волновая функция симметрична по координатам и, следовательно, антисимметрична  по спинам.  Нормальное состояние  гелия  является парасостоянием.

       В уравнении  переменные не  разделяются и его  точное решение  получить  невозможно. Поэтому  для его  решения разработан ряд приближенных методов. Применение  теории  возмущений позволяет получить  волновые функции и, в довольно грубом приближении, энергию основного состояния гелия.

       Именно будем считать, что взаимодействие между электронами является в уравнении возмущением.

Сначала сложить по отдельности орбитальные и спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа)

,

,

а затем найти общий момент (целое число)

.

Такая связь носит название - связи или связи Рассела – Саундерса.

       Она соответствует наличию двух независимых законов сохранения для орбитальных и спиновых моментов. Чаще всего она осуществляется у легких элементов.

       Возможна и другая схема сложения моментов, а именно вначале можно сложить для каждого электрона спиновый и орбитальный момент (полуцелые значения)

,

,

а затем найти полный момент обоих электронов (целое значение)

.

       Такая связь называется - связью и встречается преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное значение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометрической модели может быть различным

.

       При исследовании спектральных линий в сложных атомах следует различать внешние и внутренние слои.

       В атоме водорода имеется только внешней слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия заканчивается построение К-слоя (инертный газ). У лития внутренний слой (К-слой) заполнен, а во внешним - слое находится один электрон (щелочной металл, элемент первой группы); у заканчивается заполнение -слоя. Далее у натрия внутренние слои и заполнены полностью, а во внешнем М-слое находится один электрон (щелочной металл) и т. д.

       Следует заметить, что энергия связи, приходящаяся на один электрон внутреннего слоя, гораздо больше, чем для электрона, находящегося во внешним слое. Так, например, отрыв первого валентного электрона у лития требует затраты энергии только 5,39 эв. При отрыве же второго и третьего электронов, лежащих во внутренних слоях,  требуется соответственно энергия 76 и 122 эв.

       Поскольку у атомов первой группы , получивших название щелочных металлов, во внешнем слое находится, так же как у атома водорода, по одному электрону, то поэтому их оптические и химические свойства в основном должны напоминать свойства атома водорода (например, как известно, все эти элементы являются одновалентными, и у всех у них обнаруживается дублетное расщепление спектральных термов.)

       Оптический спектр возникает, когда переход совершает валентный электрон (т. е. электрон внешней орбиты), оказавшийся до этого благодаря возбуждению атома на более высоком уровне.

       Возбуждение же электронов внутренних орбит требует, как правило, значительно большей энергии, а переходы электронов из возбужденных состояний обратно в основные состояния внутренних орбит сопровождаются рентгеновским излучением.

       Ядро атома вместе с электронами внутренних орбит образует так называемый атомный остов, заряд которого равен , где - число электронов на внутренних орбитах. Для щелочных металлов ( и т. д.) величина и заряд «атомного остова» для них равен единице (). Поэтому основная часть потенциальной энергии, удерживающая внешний электрон в щелочном металле, будет такая же, как и в атоме водорода, т. е.

;

в основу исследования спектра щелочных металлов мы можем положить соответствующее выражение энергии, полученное для атома водорода:

,

       Точно так же за основное приближение волновых функций мы можем взять волновые функции атома водорода

.

       Однако в щелочных металлах при рассмотрении взаимодействия между валентным электроном и атомных остовом, помимо кулоновского взаимодействия, следует также учитывать силы поляризации и эффект размазанности атомного остова по некоторому объему, что дает в энергии некоторые добавки и снимает вырождение по , которое имеет место для атома водорода.

Тема: Вероятность квантовых переходов. Уравнения для амплитуды вероятности перехода и использование для их решения теории нестационарного возмущения.