Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 15 )

       1) Метод теории возмущений Шредингера, как правило, используется, когда энергия возмущения не зависит от времени или когда время в энергии возмущения может быть исключено с помощью какого-либо преобразования. Этот метод особенно просто позволяет найти, например, поправки к спектру энергии в стационарных задачах.

       2) Метод теории возмущений Дирака, который мы хотим использовать для решения уравнения, пригоден и для нестационарных задач, когда энергия возмущения зависит от времени.

       Остановимся здесь на методе теории возмущения Дирака, который, в частности, позволяет построить теорию переходных процессов.

       Допустим, что мы знаем собственные значения и собственные функции невозмущенного стационарного уравнения Шредингера

.

Тогда полное решение нестационарного, но невозмущенного уравнения Шредингера

мы можем представить в виде

,

где - некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля которых характеризует вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии .

       При учете в уравнении энергии возмущения мы общее решение также в форме и - собственные функции и собственные значения стационарной задачи, но вводим дополнительное условие, согласно которому коэффициенты должны быть функциями времени. Математически этот метод напоминает решение дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. Поскольку под действием возмущения вероятностные коэффициенты сами должны быть функциями времени, становится возможным описать переход электрона из одного квантового состояния в другое.

       Подставляя решение в уравнение и считая, что коэффициент зависит от времени, мы найдем:

.

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание условие ортонормированности

,

получаем систему следующих уравнений для определения коэффициентов :

,

где частота

,

а матричный элемент

.

       Заметим, что система уравнений является точной, т. е. совершенно эквивалентной начальному уравнению. Однако в общем случае решить ее точно невозможно и аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения

где коэффициенты нулевого приближения не должны зависеть от . Коэффициенты же первого приближения , второго приближения и т. д. должны быть пропорциональны соответственно и т. д.

       Подставляя и учитывая лишь члены нулевого и первого приближения, находим следующую систему уравнений для определения коэффициентов :

(нулевое приближение),

(первое приближение)

и т. д.

       Первое из этих уравнений показывает, что искомые коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от времени, т. е.

.

Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение.

       Допустим, что в начальный момент времени, т. е. при  электрон находится в состоянии . Тогда можно написать

.

Последнее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя, находим :

.

Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода за единицу времени. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в состоянии равна квадрату модуля амплитуды , для вероятности перехода в единицу времени, получаем выражение

.

Эти формулы и лежат в основе исследований многих квантомеханических задач первого приближения нестационарной теории возмущений. С помощью этих формул можно, в частности, построить теорию переходных процессов.

Тема: Квантовые переходы под действием периодического возмущения. Неопределенность и ширина энергетического уровня, квазистационарное состояние и время жизни.

       Другого рода результаты получаются для вероятности перехода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмущения. Предположим, что в некоторый начальный момент времени  система находится в -м стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту периодического возмущения будем предполагать такой, что

,

где - значение энергии, с которого начинается непрерывный спектр.

       Основную роль будут играть состояния со значениями энергии в непосредственной близости к «резонансной» энергии , т. е. такие, для которых разность - мала. По этой же причине в матричных элементах возмущения достаточно рассматривать только первый член (с близкой к нулю частотой ). Подставляя этот член и интегрируя, получим:

.

Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при было , в соответствии с поставленным начальным условием.

       Для квадрата модуля отсюда находим:

.

Легко видеть, что при больших стоящая здесь функция может быть представлена как пропорциональная .

       Для этого замечаем, что имеет место следующая формула:

.

Действительно, при  написанный  предел  равен нулю, а при  имеем так  что  предел равен бесконечности. Интегрируя  же по в пределах от до (делаем  подстановку ), получим: