Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 19 )

Здесь учтено, что .

Задача 2.  Показать, что оператор радиус-вектора частицы в - представлении есть .

               Решение

       В координатном представлении . Для перехода, к -представлению воспользуемся выражением среднего значения радиус-вектора:

  (1)

где

  (2)

суть коэффициенты в формуле разложения   по собственным функциям оператора импульса

.        (3)

С другой стороны,

.                (4)

Учитывая выражение (3) и интегрируя по частям, преобразуем к виду

.

Тогда

       (5)

Здесь принято во внимание выражение для согласно (2). Сравнивая (5) и (1), находим, что в импульсном представлении .

Задачи для самостоятельного решения

Доказать самосопряженность оператора момента количества движения . Доказать справедливость перестановочного соотношения для момента количества движения. Доказать, что оператор квадрата момента количества движения коммутирует с любой его составляющей (использовать результаты задачи 2).

Тема: Уравнение Шредингера.

Цель занятия: решение стационарного уравнения Шредингера и решение временного уравнения Шредингера.

Примеры решения задач

Задача 1. В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками находится частица в состоянии . Найти волновую функцию в энергетическом представлении и вычислить среднюю энергию частицы.

               Решение

Из условия нормировки получаем: Уравнение для собственных функций оператора энергии

имеет для значений конечные, непрерывные и однозначные решения:

,

где

поэтому волновую функцию частицы в энергетическом представлении можно записать так:

.

Вероятность, что частица обладает энергией , выражается формулой

.

Очевидно, что лишь при .

Средняя энергия частицы оказывается равной

.

Задача 2. Частица находится в однородном потенциальном поле . Найти собственные значения и собственные функции оператора энергии в - представлении.

               Решение

Гамильтониан частицы в - представлении есть . Поэтому для собственных функций оператора энергии уравнение в импульсном представлении имеет вид

.

Задача 3. Частица с массой  находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти: собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.

               Решение

Решение уравнения Шредингера внутри ямы удобно искать сразу в виде произведения синусов: , так как при и волновая функция должна обращаться в нуль. Возможные значения и находим из граничных условий:

В результате

;

.

Задачи для самостоятельного решения

Частица находится в одномерной потенциальной яме , внутри которой , а вне . Найти решение стационарного уравнения Шредингера для этого случая. Найти волновую функцию и разрешенные значения энергии частицы, находящейся в потенциальном поле, определяемом следующим образом:

  0  при 

                                 

    при  .

Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое поле Е. заряд частицы е.

Тема: Теория спина.

Цель занятия: нахождение собственных функций и собственных значений оператора спина.

Примеры решения задач

Задача 1.  Найти собственные функции и собственные значения операторов, определяемых матрицами Паули.

               Решение

Собственные функции и собственные значения операторов найдем из решений уравнений

,

где - собственные значения, а - собственные функции операторов и . Представляя искомые функции в виде матрицы , мы из первого уравнения получим: