Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 20 )

.

Это значит, что , и, следовательно, .

Если , то , если , то .

Из условия нормировки

следует, что . Поэтому

.

Аналогично из второго и третьего уравнений находим:

для ;

для .

       Функции и соответствуют случаям, когда спин направлен по оси и соответственно.

Задача 2.  Вычислить квадрат проекции спина электрона на произвольное направление.

               Решение

где - матрицы Паули, удовлетворяющие условиям:

;

.

Квадрат проекции спина на произвольное направление равен

Отсюда

.

Задача 3. Найти скалярное произведение спинов электрона на произвольное направление.

               Решение

Рассмотрим квадрат суммы операторов спинов двух частиц:

Как в триплетном, так и синглетном состояниях и имеют определенные значения: собственное значение (где для триплетного состояния и для синглетного состояния) и . Следовательно,

.

Поэтому в триплетном состоянии, в синглетном состоянии.

Задачи для самостоятельного решения

Доказать, что  операторы определяемые равенствами:

   

удовлетворяют  тем же  соотношениям, что и матрицы Паули.

Составить  оператор используя для  частицы со спином, помещенной в магнитное поле с индукцией .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА

При подготовке к СРСП рекомендуется изучить предварительно вопрос, используя учебную литературу по дисциплине. Составить краткий конспект прочитанного, отметив вопросы, вызывающие сомнение, либо не до конца понятые при изучении теоретического материала. 

тема-1: О необходимости перехода к квантовым понятиям. Корпускулярно-волновой дуализм

Обратить внимание на необходимость перехода от классических понятий к квантовым понятиям. Привести несколько экспериментов конца XIX и начала XX века, которые послужили толчком к возникновению квантовой механики. Рассмотреть гипотезу де Бройля, которая является основой корпускулярно-волнового дуализма.

тема-2: Операторы физических величин. Линейные и эрмитовы операторы

Обратить внимание на теорию линейных операторов, свойства операторов, т. к. она составляет основу квантовой механики. Вывести условия самосопряженности операторов, привести примеры на линейные эрмитовы операторы.

тема-3: Свойства собственных функций операторов

Показать, что свойства собственных функций операторов вытекает из методов математической физики.

тема-4: Уравнение Шредингера

Пользуясь методом аналогии и сравнивая с классической физикой, показать что уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики. Привести принцип соответствия Бора. Показать виды уравнения Шредингера.

тема-5: Изменение со временем средних значений наблюдаемых

Показать, что изменение со временем средних значений наблюдаемых приводит к законам сохранения в квантовой механике. Привести несколько примеров интегралов движения. Показать их связь со свойствами симметрии пространства и времени.

тема-6: Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Рассмотреть одномерное движение, т. е. движение частицы в потенциальной яме. При рассмотрении линейного гармонического осциллятора, сравнить квантовые и классические результаты.

тема-7: Общие свойства движения в центрально-симметричном поле

Рассмотреть проблему 2-х тел в квантовой механике и сравнить ее с аналогичной задачей в классической механике (проблема Кеплера). Применить метод разделения переменных при рассмотрении задач: свободное движение частиц и частица в кулоновском поле.

тема-8: Элементы теории представлений. Приближенные методы в квантовой механике

Рассмотреть 3 вида представления и некоторые приближенные методы в квантовой механике. Показать, что при предельном переходе к классической механике выполняется принцип соответствия Бора.

тема-9: Спин и волновая функция частицы со спином

Показать, что спин является чисто квантовым явлением. Разъяснить, что у каждой частицы имеется свой спин. Написать уравнение Шредингера, учитывающее влияние спина. Показать механизм обменного взаимодействия в системе тождественных частиц.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СРС

Приступая к выполнению заданий СРС необходимо:

-  изучить теоретический материал по теме;

- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, рекомендуется сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи.

- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ;

- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;

- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;

- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы;

-выполнить числовые расчеты;

- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.

В соответствии с графиком отчета о выполнении заданий СРС решить и представить на проверку следующие задания:

- Динамические переменные в квантовой механике: № 4.1.3 (, Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.2.5, 6.2.6, 6.2.7, 6.2.8, 6.2.10 ( Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), №7.12, 7.13, 7.14 (, Сугаков  В. И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983)

- Динамические уравнения квантовой механики: № 4.2.2 (, Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.3.5, 6.3.9, 6.3.10 ( Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007),  № 7.46, 7.47 (, Сугаков  В. И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)

- Законы сохранения физических величин: № 6.3.11, 6.3.12 ( Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.91, 7.92, 7.93 (, Сугаков  В. И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)

- Некоторые приложения квантовой механики: № 4.2.4 (, Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.4.4, 6.4.6, 6.4.8 ( Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.51, 7.52 (, Сугаков  В. И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)