Учебно-методический комплекс дисциплины «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 4 )

       Среднее значение физической величины дается формулой:

.

       Отметим, что это выражение должно быть написано в несколько более общем виде, если волновая функция не нормирована на единицу. В этом случае

.

       Соотношение неопределенностей физических величин дается формулой:

.

Формула дает искомое соотношение между погрешностями и . Она устанавливает минимально возможное значение произведения этих погрешностей.

       Рассмотрим частный случай, взяв за величины и соответственно и .

.

       Таким образом, соотношение неопределенности имеет вполне общий характер. Соотношение неопределенности для координаты и импульса является частным случаем.

Тема: Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности. Уравнение непрерывности в квантовой механике.

       Уравнение Шредингера обладает той особенностью, что оно является уравнением первого порядка по времени и содержит множитель . Последнее означает, что волновая функция должна быть комплексной.

,

где волновая функция зависит от координат и времени . Это уравнение является основным уравнением квантовой механики.

       Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что уравнение Ньютона в классической механике. Его можно было бы назвать уравнение движения квантовой частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике – это значит определить значение - функции в каждый момент времени и в каждой точке пространства.

       Обозначая потенциальную энергию частицы через а полную – через Е, получим

       Уравнение представляет искомое обобщение волнового уравнения Шредингера на случай частицы, движущейся в произвольном потенциальном поле, не зависящем от времени. Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

       Волновая функция, описывающая движение частицы, вообще говоря, изменяется в пространстве и времени. Однако это изменение не может быть произвольным. Именно, имеет место некоторый закон сохранения.

Введем вектор , определенный соотношением

.

тогда  .

       Эта формула показывает, что плотность вероятности удовлетворяет закону сохранения, а введенный нами вектор имеет смысл плотности потока вероятности. Соотношение может быть переписано в дифференциальной форме в виде уравнения непрерывности

Интеграл от нормальной составляющей вектора по некоторой поверхности представляет вероятность того, что частица пересечет указанную поверхность в в единицу времени.

Тема: Изменение со временем средних значений наблюдаемых. Теоремы Эренфеста. Интегралы движения. Связь законов сохранения со свойствами симметрии пространства и времени. Четность квантовых состояний.

       Построим теперь оператор , отвечающий производной по времени от квантомеханической величины, описываемой оператором . Совершенно ясно, что обычное определение производной от функции неприменимо к квантомеханической величине, описываемой оператором . Для определения понятия производной мы вновь воспользуемся аналогией с классической механикой. Как известно, в классической механике производная по времени от некоторой механической величины может быть выражена через классическую скобу Пуассона

,

где Н – функция Гамильтона.

       Переходя от классических величин к квантомеханическим операторам и от классической скобки Пуассона к квантовой, получим выражение для оператора  .

Если оператор не зависит от времени явно, то оператор имеет вид

.

Из свойств квантовых скобок Пуассона сразу следуют выражения для производной от суммы и произведения двух операторов и

,

       С помощью этих формул для производной от квантового оператора можно найти выражение для производной по времени от среднего значения величины .

       Дифференцируя выражение для среднего, находим

Выразим производные и через волновые функции с помощью уравнения Шредингера и уравнения с ним сопряженного. Тогда имеем

так как интеграл не изменяется при перестановке подынтегральных функций.

       Из эрмитовости оператора следует, что

Окончательно получаем

.

       Предположим, что оператор не зависит от времени явно и коммутирует с оператором Гамильтона . В этом случае, оператор производной по времени равен нулю и среднее значение величины не изменяется во времени

Такие величины в квантовой механике, так же как и в механике классической, принято именовать интегралами движения. Из сказанного ясно, что квантомеханическая величина является интегралом движения, если:

ее оператор не зависит от времени явно; этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона.

Зная операторы различных квантомеханических величин и оператор Гамильтона, можно найти законы сохранения.