Учебно-методический комплекс. Математика (стр. 21 )

2) 

3) 

4) 

5. Найти критические точки функции и убедить­ся в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) у = х2; б) у = л:3 +1;

6. Найти пределы:

а)

б)

в)

г)

Практикум тесты 4.6-4.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.149-164

Практическое занятие по теме №.9* Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. 2 час

Цель занятия. Производная функции.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции. Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной функции.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу производных функций, с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти производную функции у = х3.

2.Найти производную функци. у = sin(x2 + 2Х).

3.Найти производную функции у=х2- л/х3 .

4.Найти производную функций: а) у - хх;

Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a, b] одновременно выполняются 3 условия: y<0; y'>0; y"<0?

1) только IV 2) только I 3) только I и II

4) только I и IV 5) только III

Практикум тесты 5.1-5.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.165-175

Практическое занятие по теме №.10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей. 2 час

Цель занятия. Производные высших порядков

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу производных высших порядков, с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти производную функции у, заданной урав­нением х2 - ху + \пу= 2, и вычислить ее значение в точке (2; 1).

2.Найти производные до л-го порядка включи­тельно от функции у = In х.

3. Вычислить .

1) 2)

3) 4) 5) 2tg(x4-2)

4.Найти производную функции. у = cos2 x + In tg-

Практикум тесты 5.6-5.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.176-181

Практическое занятие по теме №.11. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба. 1 час

Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу, графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.

с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти приращение и дифференциал функ­
ции у = 2х2 - Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0; 3].

3. Исследовать функции и построить их графики:

y=x*-Ux2+36x.

*3

у =(2 + х)е~х.

4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...

1) 2) 3) 4) 3
5)

Практикум тесты 6.1-6.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.181-197

Практическое занятие по теме №.12. Исследование экономических моделей. 2 час

Цель занятия. Исследование экономических моделей.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные примеры экономической одномерной оптимизации.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу экономических моделей,; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти интервалы выпуклости и точки пере­гиба графика функции у = х(х-1)3.

2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен

в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является бо­лее эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?

Практикум тесты 6.6-6.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

: [22], С.104-125

Практическое занятие по теме №.13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.1 час

Цель занятия. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу неопределенного интеграла и его свойств.,; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5

Задания для самостоятельной работы.

Найти интегралы:

1. ⌠Inxdx; б) ⌠(*3 +1)Inxdx.

2. Найти ⌠cos(3x + 2)dx.

3. Интеграл можно представить в виде суммы интегралов …

1) 2)

4. 3) 4)

5)

6. Дана функция f(x) = 6 + 1. Найдите для нее первообразную, график cos23x

которой проходит через точку М (π/4; π/4).

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 2, x = -1, y = 0.

8. Дана функция f(x) = Найдите для нее первообразную, график sin2 2x

которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0.

10. Дана функция f(x) = Найдите для нее первообразную, график cos23x

которой проходит через точку М (π/4; π/4).

11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 + 1, x = 2, x = 3, y = 0.

12. Дана функция f(x) = 1 + 3 . Найдите для нее первообразную, график sin2 2x

которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 0.

Практикум тесты 7.1-7.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.225-230

Практическое занятие по теме №.14.* Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. 1 час

Цель занятия. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших дробей.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу методов интегрирования неопределенного интеграла.,; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6

Задания для самостоятельной работы.

Найти интегралы:

а)

б)

в)

Практикум тесты 7.6-7.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.231-246

Практическое занятие по теме №.15.* Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей. 2 часа

Цель занятия. Определенный интеграл.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу определенного интеграла.,; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти интеграл

2. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже?

1)  2)  3)  4)  5)

3.Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области D, изображенной на чертеже:

4) 5)   1) 2) 3)

Практикум тесты 8.1-8.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.260-264

Практическое занятие по теме №.16.* Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера. 2 часа

Цель занятия. Понятие числового ряда.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения, предельный признак сравнения. Признак Даламбера

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу свойств сходящихся рядов.,; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8

Задания для самостоятельной работы.

Укажите, какие из рядов сходятся:
I) II) III)

1) только III 2) только I и III 3) только II и III
4) только I 5) только I и II

Вычислить

1..

1)-1/2 2) 3/2 3) 1/2

2. = …

1) –4 2) –1 3) 0

Практикум тесты 8.6-8.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

: [1], Т.2, С.56-66

Практическое занятие по теме №.17.* Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов. 1 час

Цель занятия. Знакочередующиеся ряды

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу свойств знакочередующиеся рядов; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Задания для самостоятельной работы.

Укажите, какие из рядов сходятся:

I. II. III.

1) только II 2) только II и III 3) только I и III

4) только I и II 5) только III

Практикум тесты 9.1-9.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.2, С.60-67

Практическое занятие по теме №.18.* Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов. 2 часа

Цель занятия. Ряды Тейлора и Маклорена

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу рядов Тейлора и Маклорена ; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Задания для самостоятельной работы.

1.Если , то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен…

1

2

0,25

0

2.Если , то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен…

2

10

12

0

Если , то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд

Практикум тесты 9.6-9.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

: [1], Т.2, С.67-79

Практическое занятие по теме №.19.* Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных. 1 час

Цель занятия. Определение функции нескольких переменных.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу функций нескольких переменных ; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

Задания для самостоятельной работы.

1.Пусть . Тогда сложная функция  нечетна, если функция  задается формулами…

2.Пусть . Тогда сложная функция  нечетна, если функция  задается формулами…

Практикум тесты 10.1-10.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.208-209

Практическое занятие по теме №.20.* Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков. 2 часа

Цель занятия... Частные производные

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные высших порядков.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу частных производных; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти частные и полное приращения функ­ции z = ху.

2. Найти точки максимума и минимума функ­ции z = х2 + 2у2 при условии За +2у =11.

Практикум тесты 10.6-10.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

: [1], Т.1, С.209-218

Практическое занятие по теме №.21* Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. 1 час

Цель занятия Экстремум функции нескольких переменных.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по анализу экстремумов функций нескольких переменных ; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

Задания для самостоятельной работы.

Найти точки

экстремума функции z = х2 + ly2 при условии Зх + 2у = 11,

ис­пользуя метод множителей Лагранжа.

Практикум тесты 11.1-11.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

: [1], Т.1, С.221-225

Практическое занятие по теме №.22.* Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 2 час

Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по решению линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

Задания для самостоятельной работы.

1. Решить уравнение у" = х.

2. Найти уравнения кривых, в каждой точке

которых отрезок касательной, заключенный между осями коор­динат, делится пополам точкой касания

3.Частное решение дифференциального уравнения при y(0)=1 имеет вид...

1) 2) 3)

4) 5)

Практикум тесты 11.6-11.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.2, С.105-125

Практическое занятие по теме №.23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части. 2 час

Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач по решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами; с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

Задания для самостоятельной работы.

1. Решить уравнение ху" + у' = 0.

2. Решить уравнение 2уу" = (у')2+ 1.

3.Найти частное решение следующих уравне­ний при указанных начальных условиях:

а) у"- Зу' + 2у = 0, у (0) = 3, у'(0) .= 4;

б) у" -2у' + у = 0,у (0) = 1, >>'(0) = 0;

в) у" - 2У + 2у=0,у (0) = 1, Г(0) = 1.

4.Если одним из частных решений дифференциального уравнения y"-16y=-32x-48 является функция y*=2x+3, то общее решение данного уравнения имеет вид...

1) С1e4x+C2e-4x+2x+3 2) C1e4x-C2e-4x+2x-3

3) С1e4x+C2e-4x+2x 4) С1e4x+C2e-4x+3

5) С1e4x+C2e-4x-32x-48

Практикум тесты 12.1-12.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.2, С.126-145

По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Практическое занятие по теме №1. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 2 час

Цель занятия. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по вопросам « Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа»

с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач

Задания для самостоятельной работы.

 1.. В четырех попытках разыгрываются некоторые предме­та. Вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Какова веро­ятность выигрыша трех предметов?

2.. Предприятие изготовило и отправило заказчику бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной партии бу­дет три и пять битых бутылок

Практикум тесты 14.1-14.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1]

Практическое занятие по теме №.2. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. 1 час

Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.

1. Случайная величина X распределена равномерно в ин­тервале (2, 8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

2. Случайная величина X является нормально распреде­ленной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того, что в результате испыта­ния случайная величина примет значение в интервале (9, 12).

3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в ин­тервал (16, 20) равна 0,98. Найти среднее квадратичное отклонение слу­чайной величины

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по вопросам « Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.»

сам с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач

Задания для самостоятельной работы.

 Практикум тесты 14.6-14.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1]

Практическое занятие по теме №.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

1 час

Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по вопросам «Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач

Задания для самостоятельной работы.

1. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:

X	1	2	4	5
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Ве­роятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию правильно оформлен­ных балансов.

Практикум тесты 15.1-15.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература