,
где – результаты наблюдений
n – общее количество результатов (объем выборки).
В случае статистического распределения
,
где – варианты (или центры интервалов),
– частота наблюдения i-ой варианты (или частота попадания результатов наблюдений в i-й интервал).
Оценку центрального момента j-ого порядка по результатам наблюдений 
можно определить по формулам
,
где 
– оценка результата измерения,
– результаты наблюдений,
n – общее количество результатов (объем выборки).
,
где – варианты (или центры интервалов),
– частота наблюдения i-ой варианты (или частота попадания результатов наблюдений в i-й интервал),
– оценка результата измерения.
Чаще всего используются центральные моменты 2, 3 и 4 порядков, несмещенные оценки которых 
по выборочным оценкам 
можно определить следующим образом
,
,
,
где n – объем выборки.
Второй центральный момент называется дисперсией. Корень второй степени из значения дисперсии является оценкой стандартного отклонения (среднеквадратического отклонения, СКО) результатов наблюдений.
Оценка выборочного СКО (из ) определяется по формуле
.
Несмещенная оценка выборочного СКО (из )
.
Эта оценка является несмещенной и состоятельной.
Соответствующие формулы для статистического распределения имеют вид
,
.
Зная СКО результатов наблюдений 
, можно вычислить СКО результата измерения
.
Пример Определить в условиях предыдущей задачи (п.4.2.) оценки стандартных отклонений результатов наблюдений и результата измерения. Решение: Было установлено, что СКО результатов наблюдений:
СКО результата измерения:
|
, тогда
,
4.4. Коэффициенты формы закона распределения случайной величины и их оценки
Выборочная оценка третьего центрального момента характеризует асимметрию закона распределения результатов наблюдений, т. е. скошенность спадов
.
Выборочная оценка четвертого центрального момента характеризует островершинность закона распределения результатов наблюдений, т. е. протяженность спадов
.
Для удобства в статистике используются безразмерные коэффициенты асимметрии 
и эксцесса 
, несмещенные оценки которых можно определить по формулам
,
где 
– несмещенная оценка третьего центрального момента,
– выборочная оценка третьего центрального момента,
– несмещенная оценка СКО результатов наблюдений,
– выборочная оценка СКО результатов наблюдений,
n – объем выборки,
,
где 
– несмещенная оценка четвертого центрального момента,
– выборочная оценка четвертого центрального момента,
– несмещенная оценка СКО результатов наблюдений,
– выборочная оценка СКО результатов наблюдений,
n – объем выборки,
Если 
то это означает, что большинство значений случайной величины превосходит среднее значение, а если 
, то больше данных с меньшими значениями, чем среднее.
Если 
, то данные более равномерно распределены по всей области значений, если 
, то данные сконцентрированы около центра распределения.
4.5. Устранение грубых ошибок прямых многократных измерений
Результаты проведенных экспериментов или испытаний иногда существенно отличаются от наблюдаемых средних значений. Необходимо быть уверенным, что эти результаты не являются грубым промахом, ошибкой при фиксировании наблюдаемой величины, результатом неконтролируемых условий измерений или неисправности.
4.5.1. Исключение промахов проверкой статистических гипотез
Для исключения грубых погрешностей при известном законе распределения результатов наблюдений применяют аппарат проверки статистических гипотез.
Выдвигают нулевую гипотезу: подозрительное значение принадлежит данной группе измерений. Если нулевая гипотеза принимается, то это значение не является промахом, а если нулевая гипотеза отвергается, то это значение исключается из вариационного ряда.
Выборка может содержать несколько грубых погрешностей и их исключение производят последовательно, по одному.
Формальным критерием аномальности результата наблюдений (а, следовательно, и основанием для принятия конкурирующей гипотезы: подозрительный результат не принадлежит данной группе измерений) служит граница, отнесенная от центра распределения на величину 
,
где 
– подозрительный результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности,
t – коэффициент, зависящий от вида и закона распределения, объема выборки, уровня значимости,
– оценка результата измерения,
– несмещенная оценка стандартного отклонения результатов наблюдений.
Проверку следует выполнять сразу по нескольким критериям (рекомендуется использовать не меньше трех). Окончательное заключение о принадлежности подозрительных результатов рассматриваемой совокупности наблюдений следует делать по большинству критериев.
После исключения промахов операции по определению оценок центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерения необходимо повторить.
Рассмотрим критерии для случая, когда результаты наблюдений распределены по нормальному закону.
Критерий Романовского
Конкурирующая гипотеза о наличии грубых погрешностей в подозрительных результатах принимается с заданной доверительной вероятностью 
, если выполняется неравенство
где 
– “подозрительное” значение результата наблюдения,
– оценка результата измерения, вычисленная без учета всех подозрительных результатов наблюдений,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)