Будем рассматривать систему координат, в которой уравнение регрессии является линейной функцией (см. замену переменных метода выравнивания в п.9.3.2.). То есть предварительно нужно пересчитать координаты экспериментальных точек и значения коэффициентов А и В в эту систему координат.
Стандартное отклонение 
i-ого результата совместного наблюдения величины 
зависит от величины 
и при значении 
вычисляется по формуле
,
где 
, 
, 
, 
.
Границы доверительного интервала для i-ого результата совместного наблюдения величины при доверительной вероятности 
рассчитываются по формуле
где 
– квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы 
.
Если нанести доверительные границы на координатную плоскость, то кривые 
и 
ограничат область, которая будет представлять собой геометрическое место доверительных интервалов результата измерения величины в зависимости от величины . Эта область называется доверительной областью регрессии.
.
Таким образом, границы доверительной области для уравнения регрессии с учетом и представляют собой функции, которые записываются в виде
где , , , .
В системе координат, где уравнение регрессии – линейная функция, доверительные границы представляют собой гиперболы вида
После того, как доверительные границы будут найдены, необходимо провести обратный переход в исходную систему координат (см. замену переменных метода выравнивания в п.9.3.2.).
Доверительная область находится для прогнозирования по уравнению регрессии. Под прогнозированием понимается вычисление по уравнению регрессии значения величины 
при некотором значении величины 
, отличного от условий проведения эксперимента. При этом доверительные границы служат для вычисления границ доверительного интервала значения 
Пример Построить доверительную область для результатов совместных наблюдений из примера п.10.2 при доверительной вероятности p=0.95. Определить точечную и интервальную оценку прогнозируемого значения отклика при xпр=50.
Решение: Доверительные границы линейной регрессии найдем непосредственно по формулам. Из примера п.10.2 имеем уравнение регрессии Из примера п.10.4.1. имеем значения выборочного среднего арифметического Из примера п.10.4.1. имеем также значение квантиля распределения Стьюдента
Коэффициент
Вычислим значение выборочного среднего арифметического выборки
Вычислим значение коэффициента М
тогда
Верхняя граница
или
Соответственно, нижняя граница
Вычислим по уравнению регрессии точечную оценку прогнозируемого значения величины Y
Вычислим доверительные границы для значения
Таким образом, с вероятностью
|
.
и несмещенной оценки 
выборки 
.
можно найти с помощью значения несмещенной оценки дисперсии выборки 
.
.
,
.
.
.
.
,
.
можно утверждать, что прогнозируемое значение лежит в интервале
.Регрессия полиномами
Если уравнение регрессии 
построено по равноотстоящим значениям (
) с помощью полиномов Чебышева, то доверительные границы для прогнозируемого значения 
(r – глубина прогноза) при доверительной вероятности р определяются следующим образом
где 
– остаточная дисперсия,
k – степень полинома, описывающего уравнение регрессии,
– квантиль распределения Стьюдента
– коэффициент, зависящий от объема наблюдений и глубины прогноза.
Для линейной регрессии (
)
,
Для квадратичной регрессии (
)
,
где 
, 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)