Значение дифференциальной функции стандартного нормального распределения по заданному 
вычисляется непосредственно по формуле
.
Для интегральной же функции нормированного нормального распределения в справочниках приводятся таблицы значений функции
или связанной с ней функции Лапласа
.
Аналитическое выражение для функции Лапласа имеет вид
.
Функцию Лапласа также используют в виде
.
Поскольку таблицы всегда ограничены и их сложно применять при автоматизации статистической обработки экспериментальных данных, то применяется аппроксимация для функции 
Вычислив значение интегральной функции стандартного нормального распределения, можно получить значение функции Лапласа, воспользовавшись соотношением.
Пример Вычислить значения интегральной функции нормированного нормального распределения и функций Лапласа в точке Решение: По формуле вычисляем значение
По формуле определяем тогда |
.
.
,
.В практических задачах возникает необходимость вычисления p-квантили 
нормального распределения 
(то есть такого значения нормально распределенной случайной величины, которое с вероятностью p не превзойдут другие значения этой случайной величины). Квантиль можно вычислить с помощью p-квантили 
стандартного нормального распределения 
по формуле
.
Квантиль можно вычислить с помощью аппроксимации
.
Для вычисления квантили при 
нужно учитывать свойство симметричности стандартного нормального распределения
.
Некоторые методы статистики используют понятие верхнего квантиля функции Лапласа (обозначается 
). Его значение можно вычислить по формуле
Пример Вычислить значение случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, вероятность превышения которого равна 0.05. Вычислить значение верхнего квантиля функции Лапласа при p=0.9. Решение: Если перефразировать условие задачи, то нужно вычислить такое значение случайной величины, чтобы остальные значения случайной величины были меньше с вероятностью
Верхний квантиль функции Лапласа определяется по формулам и
|
, то есть требуется вычислить квантиль 
. По формуле
.
.3.2. Распределение Пирсона
Если 
– независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, то сумма их квадратов подчиняется распределению 
(хи-квадрат) Пирсона. Распределение имеет один параметр 
– число степеней свободы, определяемый количеством независимых случайных величин, сумма квадратов которых составляет случайную величину, распределенную по закону Пирсона.
Распределение хи-квадрат широко используется в прикладных задачах математической статистики. С его помощью проверяются гипотезы относительно значений дисперсий, проверяется согласие экспериментальных данных с теоретическими законами распределения.
Обозначение |
|
Параметр |
|
Плотность вероятности |
|
Функция распределения |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Стандартное отклонение |
|
Коэффициент вариации |
|
Коэффициент асимметрии |
|
Коэффициент эксцесса |
|
– число степеней свободы
Значение 
-квантиля распределения Пирсона обозначается 
и может быть рассчитано, например, по формуле аппроксимации Голдштейна
,
где 
– p-квантиль стандартного нормального распределения, значение которого вычисляется по формулам и,
– константы
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 | 1.0000886 0.4713941 0.0001348028 -0.008553069 0.00312558 -0.0008426812 0.00009780499 | -0.2237368 0.02607083 0.01128186 -0.01153761 0.005169654 0.00253001 -0.001450117 | -0.01513904 -0.008986007 0.02277679 -0.01323293 -0.006950356 0.001060438 0.001565326 |
или с помощью аппроксимации Корниша-Фишера (более простая, но менее точная, чем аппроксимация Голдштейна)
,
где 
, 
, 
,
, 
,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)