Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию 
, определяющую для каждого значения 
относительную частоту события 
.
Эмпирическую функцию распределения изображают в виде лестничного графика, длина каждой ступеньки которого равна длине соответствующего интервала, а высота – отношению накопленной частоты для этого интервала к объему выборки, т. е.
,
где 
– накопленная частота, т. е. число вариант, меньших 
,
– середина i-ого интервала, n – объем выборки.
Накопленная частота для j-ого интервала определяется последовательным суммированием частот
.
Соответствующая эмпирическая плотность вероятности определяется соотношением
где – середина i-ого интервала, 
– объем выборки.
Эмпирическую плотность вероятности изображают в виде гистограммы – фигуры, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты равны отношению частоты для этих интервалов к объему выборки.
Пример Построить графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности вероятности для выборки из предыдущего примера (п.2.2.) 79 58 54 52 73 67 71 63 85 53 73 67 62 53 41 43 61 52 63 80 72 65 65 77 42 67 64 67 70 68 59 61 75 59 32 69 60 60 60 76 Решение: В примере п.2.2. было получено интервальное распределение выборки
Рассчитаем накопленные частоты для каждого интервала по формуле
Значения эмпирической функции распределения для каждого интервала определим по формуле, а значения эмпирической плотности вероятности – по формуле
|
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2.4. Статистические оценки параметров распределения случайной величины и их свойства
Статистической оценкой 
неизвестного параметра теоретического распределения 
называется функция от наблюдаемых значений случайной величины
.
Для того, чтобы оценки были надежными, к ним предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.
Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки n, т. е.
.
Оценка должна быть несмещенной для того, чтобы при замене этой оценкой истинного значения параметра распределения не допускалась систематическая погрешность.
Оценка называется эффективной, если при заданном объеме выборки n она имеет наименьшую возможную дисперсию, т. е.
.
Оценка называется состоятельной для параметра , если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании объема выборки, т. е.
,
где 
– малое положительное число.
Для того, чтобы несмещенная оценка была состоятельной, достаточно, чтобы 
.
Статистические оценки, определяемые одним числом, называются точечными.
Интервальной называется статистическая оценка, которая задается двумя числами – концами интервала (в котором может лежать её значение).
Точностью статистической оценки 
называется величина, определяемая из неравенства
.
Чем меньше значение , тем точнее оценка описывает параметр .
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра по значению называется вероятность 
, с которой осуществляется неравенство , т. е.
или
.
Выражения и представляют собой вероятность того, что интервал 
заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр с надежностью
Этот интервал называется доверительным интервалом и является интервальной оценкой параметра .
Существует 2 вида интервальных оценок: односторонние и двусторонние. При двусторонней оценке задаются обе границы доверительного интервала, зависящие от доверительной вероятности : верхняя 
и нижняя 
, такие что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)