Критерий Пирсона
Критерий 
Пирсона эффективен при большом объеме выборки (условно 
).
Идея критерия состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределения.
Для использования критерия необходимо, чтобы в каждый интервал статистического распределения попадало не меньше 5 значений. В случае, если это не так, следует объединить несколько расположенных рядом интервалов в один.
Алгоритм проверки гипотезы по критерию Пирсона:
1. Выдвигается нулевая гипотеза: “генеральная совокупность распределена нормально”. Выбирается значение доверительной вероятности 
.
2. Рассчитывается для каждого интервала параметр
,
где 
– середина соответствующего интервала,
– несмещенная оценка СКО результатов наблюдений,
– выборочное среднее арифметическое.
3. По значению 
определяется значение дифференциальной функции стандартного нормального распределения 
(по формуле ) – вероятность попадания значений в интервал в случае, если распределение нормальное.
4. Вычисляются теоретические частоты попадания значений выборки в i-й интервал
,
где 
– длина интервала,
– объем выборки,
– несмещенная оценка стандартного отклонения результатов наблюдений.
5. В качестве наблюдаемого значения критерия проверки нулевой гипотезы (“генеральная совокупность распределена нормально”) принимается случайная величина, определяемая по формуле
,
где 
– эмпирические частоты (частота попадания значений в i-й интервал),
– теоретические частоты, вычисленные в предположении нормально-распределенной генеральной совокупности,
k – количество интервалов.
6. Вычисляется число степеней свободы
,
где k – количество интервалов,
l – количество параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. В случае нормального распределения 
(математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение), тогда
.
7. При заданном значении доверительной вероятности по формуле или определяется квантиль распределения Пирсона 
, значение которого является критическим значением критерия.
8. Нулевая гипотеза принимается с заданной вероятностью, если
.
Пример Проверить по критерию Пирсона принадлежность выборки объемом n=40 (из примера п.2.2.) к нормальному закону распределения при доверительной вероятности p=0.95. 79 58 54 52 73 67 71 63 85 53 73 67 62 53 41 43 61 52 63 80 72 65 65 77 42 67 64 67 70 68 59 61 75 59 32 69 60 60 60 76 Решение: В примере п.2.2. было получено интервальное распределение выборки
Объединим первые 3 и последние 2 интервала так, чтобы в каждый интервал попадало не менее 5 элементов выборки, и рассчитаем центры объединенных интервалов как полусумму координат их границ
Все результаты расчетов будем сводить в таблицу
Рассчитаем ширину интервалов
В предыдущем примере (п.4.7.1.) были вычислены значения Вычислим несмещенную оценку выборочного СКО
Рассчитаем для каждого интервала параметр
Рассчитаем значения дифференциальной функции стандартного нормального распределения
Рассчитаем теоретические частоты
В последнем 8-ом столбце запишем результаты расчета по формуле
Просуммировав значения в последнем столбце, получим наблюдаемое значение критерия
Определим число степеней свободы
Рассчитаем квантиль
где
тогда
Нулевая гипотеза о принадлежности выборки к нормальному закону принимается с вероятностью 0.95, поскольку
|
,
.
и занесем эти значения в 4-й столбец таблицы.
,
,
,
.
и 
.
, основываясь на соотношении
.
по формуле и занесем эти значения в 5-й столбец таблицы.
,
,
,
.
для каждого интервала по формуле и занесем результаты в 7-ой столбец таблицы
.
.
по формуле
.
распределения Пирсона по формуле
- константы, значения которых даны в п.3.2.,
- квантиль стандартного нормального распределения, который, в свою очередь, вычислим по формуле
.Критерий Шапиро-Уилка
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)