Пример Имеется функциональная зависимость Решение: Имеем количество аргументов СКО результата косвенного измерения определяется по формуле
Поскольку корреляционные связи отсутствуют, то
Найдем частные производные функции
Вычислим коэффициенты
В итоге получим СКО результата косвенного измерения
|
. Были проведены прямые измерения аргументов X, Y и Z. Результаты измерений соответственно 
, 
и 
, а СКО результатов измерений 
, 
и
. Зная, что корреляционная связь между аргументами незначима, определить СКО результата косвенного измерения.
.
.
, т. е.
.
по всем её аргументам
,
,
,
,
.
.Метод 2
Этот метод применяют, когда не известны законы распределения погрешностей измерений аргументов, а между аргументами существует корреляция.
1. По результатам наблюдений аргументов 
на основании известной функциональной зависимости 
рассчитываются соответствующие им значения
2. Полученный ряд обрабатывается как результаты прямых наблюдений.
8.4. Определение доверительного интервала результата измерения
Оценка границы погрешности косвенного измерения рассчитывается аналогично случаю прямых измерений, за исключением двух отличий:
1. Число степеней свободы 
для квантиля распределения Стьюдента (в случае нормального распределения измеряемой величины) определяется в зависимости от объема результатов наблюдений аргументов 
2. Формула для суммирования систематических составляющих погрешности измерения будет иметь вид
,
где 
– граница неисключенной систематической погрешности для i-ого аргумента 
, которая определяется методами, описанными в п.4.8.3.,
– частная производная функциональной зависимости 
по i-ому аргументу, вычисленная при значениях аргументов, равных значениям результатов их измерений,
– коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности 
p | b |
0.90 0.95 0.99 | 0.95 1.11 1.40 |
9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
ü Основные понятия и определения теории интерполяции.
ü Интерполяция точная в узлах.
ü Аппроксимация.
9.1. Основные понятия и определения теории интерполяции
Задача интерполяции состоит в следующем. На некотором отрезке 
заданы n точек 
и значения некоторой функции 
в этих точках 
. Требуется найти аналитический вид функции 
, проходящей через эти точки.
Точки называются узлами интерполяции, функция называется идеальной функцией, а функция – интерполирующей функцией. В математической статистике 
называется уравнением регрессии.
Расстояние между узлами интерполяции называется шагом.
Если интерполирующая функция проходит через все заданные точки, то такая интерполяция называется точной в узлах. На практике же провести эксперимент без погрешностей невозможно, поэтому проводить интерполяцию точную в узлах часто бывает нецелесообразно. Тогда используется интерполяция, приближенная в узлах (аппроксимация).
– уклонение (разность в i-ой точке между значением аппроксимирующей функции и экспериментальным значением, т. е. 
). В математической статистике уклонение называется регрессионным остатком.
Задача аппроксимации – поиск такой функции , которая в узлах мало бы отличалась от экспериментальных значений. Критериями близости могут быть:
1. Равенство нулю алгебраической суммы всех уклонений, т. е.
2. Сумма квадратов уклонений минимальна, т. е.
3. Среднее значение всех уклонений минимально, т. е.
Если найдена функция , то по ней можно приближенно вычислить значение идеальной функции в точках х, отличных от узлов. При этом различают интерполирование в узком смысле, когда 
, и экстраполяцию, когда 
. В статистике экстраполяция называется также прогнозом.
9.2. Интерполяция точная в узлах
9.2.1. Конечные и разделенные разности
Если значения идеальной функции в узлах интерполяции 
, то конечные разности первого порядка определяются по формулам
Конечные разности второго порядка
Аналогично определяются конечные разности следующих порядков. Общее количество конечных разностей i-ого порядка равно 
.
Если за начальную точку взять значение идеальной функции в середине таблицы экспериментальных данных, то конечные разности будут называться центральными разностями.
Пример Конечные разности:
Центральные разности:
|
В общем случае конечные и центральные разности определяются по формуле
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 |
Основные порталы (построено редакторами)