Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 11 )

Для нахождения числа частиц в слое воздуха толщиной воспользуемся формулой канонического распределения Гиббса (1.28), согласно которой число частиц газа в элементе объема фазового пространства, отвечающего состоянию равно

  ,  (1.6.4)

где - полное число молекул в выделенном столбе воздуха.

       При вычислении энергии частицы, находящейся на высоте , можно ограничиться рассмотрением потенциальной энергии. Дело в том, что хотя энергия отдельной частицы (ее кинетическая часть) и зависит от импульсных координат, это никак не отражается на распределении частиц в поле земного тяготения.

 

   

 

Фиг. 14. К выводу барометрической формулы.

       

Как видно из фиг.14, направление ускорения свободного падения - противоположено направлению оси . Следовательно, частица на высоте обладает потенциальной энергией

  пот  (1.6.5)

где - масса частицы.

Потенциальная энергия пот отдельной частицы зависит, таким образом, только от координаты и не зависит от координат и . Интегрируя выражение (1.6.4) по и , а также по несущественным в данном случае  импульсным координатам, мы избавляемся от зависимости числителя и знаменателя от этих переменных и получаем число частиц в слое воздуха на высоте :

  .  (1.6.6)

Объединяя не зависящие от высоты члены в один постоянный коэффициент

.

находим из (1.6.6)

  .  (1.6.7)

Величина пропорциональна плотности газа . Отсюда плотность воздуха на высоте равна

, 

где - плотность при .

       Пользуясь уравнением состояния идеального газа, преобразуем показатель экспоненты в формуле (1.6.8)

  .  (1.6.9)

       Подставляя (1.6.9) в (1.6.8), приходим к барометрической формуле

    (1.6.10)

       Если обозначить через и соответственно энергию и число заполнения определенного энергетического состояния, то внутреннюю энергию , усредненную по всем энергетическим состояниям, можно записать в виде

    (2.1.1)

Рассмотрим сначала отдельно взятую частицу. Согласно закону распределения энергии, вероятность того, что эта частица окажется в ячейке, которой соответствует энергия , равна

    (2.1.2)

Интегрирование в (2.1.1) и (2.1.2) распространяется на все состояния рассматриваемой частицы. Подставляя (2.1.2) в (2.1.1), находим  для  средней энергии отдельной частицы

    (2.1.3)

В твердом теле отдельные атомы не могут существенно смещаться  из положений равновесия. Когда такое расположение нарушается, возникают квазиупругие возвращающие силы. Таким  образом, каждый структурный элемент твердого тела обладает потенциальной и кинетической энергией.

       Кинетическая энергия одного атома, имеющего массу равна

  кин  (2.1.4)

Для вычисления потенциальной энергии пот будем рассматривать каждую частицу как гармонический осциллятор, совершающий колебания под действием приложенных сил. Предположим, что частица смещена из  своего положения равновесия на расстояние Возвращающая сила действует в направлении - . Ее компоненты  пропорциональны компонентам смещения, если только последние не слишком велики. Следовательно, для возвращающей силы можно написать

где постоянная, зависящая от структуры твердого тела. Следовательно, потенциальная энергия сместившейся на величину частицы равна

пот

или

  пот  (2.1.6)

Если ввести обозначения

то энергию рассматриваемой частицы можно представить в виде квадратичной функции

которая включает в себе как потенциальную, так и кинетическую энергию. В твердом теле каждая частица обладает тремя степенями свободы, соответствующими потенциальной энергии, и тремя степенями свободы, соответствующими кинетической энергии. Следовательно, необходимо положить . Внутренняя энергия системы на основании (2.1.3) равна

          (2.1.8)

Интеграл , стоящий в знамена, можно разложить:

    (2.1.9)