Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 4 )

.

Т. е. является аддитивным интегралом движения. Общеизвестны семь аддитивных интегралов движения. Это три интеграла импульса, три интеграла момента импульса и интеграл энергии для невзаимодействующих подсистем. Аддитивная функция этих величин – это линейная функция. Так что можно написать:

,

где   - коэффициенты, одинаковые для всех подсистем. Для полной функции распределения получим:

.

Здесь - энергия, импульс, момент импульса всей системы. Таким образом, задав эти семь интегралов движения, мы можем определить общий вид функции распределения.

       Следует отметить, что и характеризует  движение  системы  как  целого. характеризует  поступательное движение, - вращательное.  В  случае равновесных  состояний нас, как  правило, интересует лишь  внутреннее,  хаотическое движение. Если  считать, что  система  как целое  покоится, то и , и функция  распределения  будет  зависеть  только  от энергии.

Для замкнутой  системы энергия  сохраняется:Следовательно, будет  отлично  от нуля  только  на поверхности  фазового  пространства, определяемой  уравнением:

Будем рассматривать вероятности  как  функцию  энергии и введем  понятие плотности  вероятности  по энергии:

где   

Здесь  - обычная  функция статистического распределения, зависящая  от динамических  переменных и   через  энергию. Функция  позволяет определить  вероятность того, что система находится в состоянии с полной  энергией , а функция -вероятность того, что состоянии системы  характеризуется  определенной точкой  фазового пространства  с координатами и . Одному значению энергии соответствует  бесчисленное множество точек  фазового пространства. Следует пояснить смысл производной . Частицы реальных систем  движутся  в ограниченной  области  пространства, имеют  конечное  значение энергии  и импульса. Следовательно, точки фазового пространства,  описывающие  движение таких  систем, перемещаются  в  ограниченном  объеме  фазового  пространства. Величина этого  объем системы, чья  энергия  меньше  или равна ,  то производная  будет  характеризовать  изменение  фазового  объема при  измени энергии. Т. е. -это фазовый объем системы, обладающей энергией от  до

Поскольку вероятность  отлична  от нуля  только при то  плотность  вероятности по энергии будет выражаться  через  дельта - функцию Дирака:

Соответственно, функция  распределения  имеет  вид:

где - константа нормировки.

       Подобное распределение носит  название микроканонического  распределения. Согласно ему  вероятность всех  микро  состояний  равновесных систем, отвечающих  одному  значению  энергии, одинаковы.  И эта  вероятность  зависит  только  от энергии, а зависимость от динамических  переменных выражается через  энергию.

       Приведенные  выше  рассуждения  не нужно рассматривать  как вывод функции распределения. Функция  распределения  не выводится. Она  постулируется, подобно тому, как постулируется динамическое  уравнение движения в  механике. Справедливость этого  постулата, называемого  постулатом  о микроканоническом  распределении, обосновывается правильностью выводов, вытекающих из него. Микроканоническое распределение основано на рассматривания ансамбля тождественных  систем о одинаковой  энергией. Такой  ансамбль называют микроканоническим. 

Для математической формулировки этого «квантового микроканонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Обозначим это число посредством ; оно играет здесь роль, аналогичную роли элемента фазового объема в классическом случае.

Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний всех отдельных подсистем, и число  представится в виде произведения

чисел квантовых состояний подсистем (таких, чтобы сумма энергий всех подсистем лежала как раз в рассматриваемом интервале значений энергии всей замкнутой системы).

Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распределение в виде, аналогичном классическому выражению, написав для вероятности нахождения системы в каком-либо из состояний следующее выражение:

.

       Вначале рассмотрим квантовый случай, как наиболее наглядный. Введем понятие термодинамической вероятности. Термодинамическая вероятность - это число микросостояний , отвечающих одному и тому же макросостоянию.

.

Термодинамическая вероятность, в отличие от обычной, не нормируется не единицу.

       Согласно постулату о микроканоническом распределении, все микросостояния, обладающие одной и той же энергией, равновероятны. Следовательно, обычная вероятность обнаружения системы в каком-то макросостоянии будет пропорциональна числу микросостояний, посредством которых это макросостояние реализуется: