Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 21 )

По своему виду это выражение представляет собой уравнение непрерывности. В одномерном пространстве переменной роль дивергенции играет производная Если рассматривать точки, отображающие состояние членов некоторого ансамбля, как молекулы газа, то есть плотность этого газа, а уравнение непрерывности для него запишется в виде (52.7).

В отличие от статистической физики, функция распределения в большинстве моделей кинетики не постулируется, а получается из решения некоторого дифференциального уравнения. Это уравнение называется кинетическим уравнением.  Таким образом,  первоочередная задача,  которая встает при описании неравновесных процессов, - это получить кинетическое уравнение. И только потом, решив его, мы можем найти функцию распределения, затем распределение параметров системы, законы их изменения и все, что нас интересует. Пока не удается получить универсального кинетического уравнения, как и не удается получить универсальной функции распределения. В каждом отдельном случае приходится получать свое уравнение. Причем и эта задача является весьма проблематичной, и далеко не всегда можно достигнуть цели. Тем ни менее удается выявить некоторые общие закономерности протекания неравновесных процессов, и даже написать формальное кинетическое уравнение. Здесь используется развитие тех идей, которые лежат в основе статистической физики.

Пусть частицы системы могут находиться в некоторых невырожденных квантовых  состояниях,  которые  мы  будем  нумеровать  индексом Обозначим через число частиц, находящихся в состоянии через - вероятность перехода одного частицы из i - го в j - oe состояние в единицу времени. Тогда за счет подобных переходов значение  уменьшиться на величину .

С другой стороны, это число будет увеличиваться за счет переходов в

-ое состояние из других состояний: .

Таким  образом, мы можем написать

    (53.1)

При наличии вырожденных состояний это уравнение перепишется в виде

  ,         (53.2)

где - степень вырождения.

Это выражение можно несколько упростить, если учесть обратимость микроскопических процессов. Законы движения микрочастиц обратимы и не изменяются при замене. Соответственно вероятность перехода из i - го в j - oe состояние равна вероятности обратного перехода - из -го в -oe состояние. С учетом вырождения это запишется как

          (53.3)

Данное равенство отражает так называемый принцип детального равнове­сия или принцип микроскопической обратимости. Используя этот прин­цип, для кинетического уравнения (53.2) получим

          (53.4)

Это и есть то общее, что мы можем получить для неравновесных процес­сов. Его простота только кажущаяся. Вся сложность заключается в вероят­ности перехода , которая имеет свои специфические особенности в ка­ждом конкретном случае, и зависит от множества факторов. В частности она может зависеть от числа частиц N. Таким образом, уравнения стано­вятся нелинейными. 

В качестве примера получения более детального вида кинетического уравнения рассмотрим одну из наиболее простых моделей - модель идеального газа. Все степени свободы системы будем считать классическими. Поэтому, вместо распределения по квантовым состояниям, будем использовать распределение по точкам фазового пространства, описываемое функцией (r, p,t). Напомним, что каждую молекулу идеального газа можно рассматривать как квазинезависимую подсистему. Поэтому функ­ция распределения отнесена к одной молекуле, а и есть ра­диус-вектор и импульс этой молекулы.

Обозначим через число частиц, находящихся в элементарном фазовом объеме dg:

          (54.1)

Будем считать, что взаимодействие между молекулами происходит мгно­венно в момент столкновения. Так что координаты при взаимодействии неменяются. Меняются только импульсы. В результате столкновений часть частиц выбывает из объема dg. Другая часть, наоборот, поступает. Изменение величины dn, отнесенное к единице времени, равно разности между числом поступивших и числом выбывших частиц:

          (54.2)

Величину называют интегралом столкновений. Найдем полную производную по времени от функции распределения:

Взяв полную производную по времени от функции распределения и сократив dg, получим

,

где  - сила, действующая на частицу со стороны внешнего поля, а - - масса частицы.

Подставив это выражение в уравнение (54.2) и сократив dg, получим

  .  (54.3)

Данному выражению можно придать более компактный вид, и к тому имеющий наглядный физический смысл. Поскольку и являются независимыми переменными, то второй сомножитель во втором слагаемом можно внести под знак частных производных по координатам. То же касается сомножителя в третьем слагаемом, т. к. внешняя сила не зависит от импульса частицы. Таким образом, мы можем написать

.

Но есть поток частиц (число частиц пересекающих единичную перпендикулярную площадку в единицу времени), а есть поток импульса. Следовательно, последние шесть слагаемых левой части этого равенства представляют собой дивергенцию в фазовом пространстве от потока числа фазовых точек, отображающих движение молекул. В результате равенство (54.3) можно переписать в виде

          (54.4)

Это выражение является обобщением уравнения непрерывности, рассмотренного в §4. Отличие заключается в том, что если ранее фазовые траектории были непрерывными линиями, то теперь при столкновении частиц вектор импульса мгновенно меняет свое значение, фазовая точка переходит одной области в другую. В результате фазовая траектория обрывается в момент столкновения и порождается в другом месте. Следовательно, в фазовом пространстве появляются стоки и истоки, что и отражается ненулевой правой частью уравнения (54.4).  Мощность стоков равна  ,

мощность истоков - характеризует изменение функции распреде­ления со временем, вызванное перемещением отображающих точек в фа­зовом пространстве. Интеграл столкновений характеризует изменение, вы­званное столкновением частиц: . Если бы столкновений не было , то мы получили обычное уравнение непрерывности.

Теперь перед нами встает задача вычисления интеграла столкновений. Для решения этой задачи, прежде всего, найдем число столкновений час­тиц, находящихся в фазовом объеме , с частицами находящимися в объеме за единицу времени. Эти столкновения приводят к выбыванию частиц из объема . Ясно, что это число пропорционально как числу частиц , находящихся в первом объеме, так и числу частиц , нахо­дящихся во втором объеме. Значения и определяются выражением (54.1). Таким образом, имеем