Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 17 )

Следовательно, согласно распределению Ферми (33.3), числа заполнения принимают следующие значения:

    (36.1)

 

1

       

               

Т. е. уровни, с энергией, меньше чем , заполнены, а с большей энергией – свободны. Таким образом: . График распределения частиц по энергии изображается ступенчатой функцией. Значение энергии Ферми можно найти из условия нормировки (34.5) при . Учитывая ступенчатый характер функции, имеем:

Подставляя значение величины из выражения (34.4), находим:

    (36.2)

Импульс, соответствующий этой энергии, называется радиусом сферы Ферми в импульсном пространстве.

    (36.3)

Энергию всего газа в целом находим согласно равенству (34.6):

или

    .  (36.4)

       Теперь на основании выражения (34.8) находим уравнение состояния полностью вырожденного ферми-газа:

    (36.5)

       Выражения, полученные выше, справедливы не только при , но и при температурах, незначительно превышающих абсолютный ноль. Критерием здесь может служить отношение величины тепловой энергии (~) к энергии Ферми. Т. е. при        где - температура вырождения.

       В заключение найдем теплоемкость вырожденного ферми - газа при температурах, незначительно отличающихся от абсолютного нуля.

       Используя полученное выражение, найдем температурную зависимость внутренней энергии согласно равенству (34.6):

    (36.7)

Здесь через мы обозначили энергию газа при нулевой температуре, а через - все множители при квадрате температуры. Таким образом, теплоемкость электронного газа при низких температурах пропорциональна ее первой степени, и стремится к нулю при , что полностью соответствует теореме Нернста.

       Поведение вырожденного бозе-газа сильно отличается от поведения вырожденного ферми-газа. В первую очередь это связано с тем, что в  системе бозонов принцип Паули не действует. В результате при температурах, близких к абсолютному нулю, большинство частиц скапливается на самом  нижнем уровне с и выбывает из теплового движения. Это явление получило название конденсации Бозе-Энштейна. Этот термин не следует понимать буквально. Поскольку в нашей модели газ считается идеальным, то конденсации в смысле превращения его в жидкость не происходит.

       Для изучения свойств вырожденного бозе - газа воспользуемся условием нормировки  (34.5):

    (37.1)

       При постоянных значениях числа частиц и объема (плотности) единственными изменяющимися параметрами остаются химический потенциал и температура. Для того чтобы значение интеграла оставалось постоянным, необходимо уменьшение абсолютной величины химического потенциала при понижении температуры. Напомним, что для бозе-газа химический потенциал меньше или равен нулю (иначе интеграл будет расходиться из - за точки ). Таким образом, с понижением температуры химический потенциал будет монотонно возрастать. При некоторой температуре он обратится в ноль. Найдем это значение.

   

       Значение входящего сюда интеграла дается равенством (П.6). В результате получаем:

      (37.2)

       При температурах, меньших , уравнение (37.1) не имеет отрицательных решений для . Это говорит о том, что оно перестает быть справедливым. Заметим, что это уравнение приближенное. Оно получено заменой суммирования на интегрирование. Такая замена оправдана, когда энергия частиц и всей системы в целом намного превосходит расстояние между соседними квантовыми уровнями. Для фермионов это условие всегда выполнялось из-за принципа Паули. Здесь лишь незначительное число частиц находилось на самых нижних уровнях. Для бозонов ситуация в корне меняется. При температурах число частиц, находящихся на нижних уровнях, мало, и равенство (37.1) остается справедливым. При температурах, близких к абсолютному нулю, подавляющее число бозонов перейдут на самый нижний уровень с нулевой энергией. В силу наличия множителя , входящего в равенство (37.1), они уже не будет давать вклад в интеграл. При этом химический потенциал по прежнему будет равен нулю, а в нашем равенстве будет соответствовать числу несконденсированных частиц.

       Применим вышеизложенную теорию к изучению свойств электромагнитного  излучения, находящегося в тепловом равновесии с окружающими телами. Такое излучение называют излучением абсолютного черного тела, или кратко - черным излучением.

       Согласно квантовым представлениям электромагнитное излучение есть поток частиц – фотонов. Особенностью этих частиц является то, что они всегда движутся со скоростью света и их масса покоя равна нулю. Тем ни менее, каждый  фотон обладает энергией, импульсом и собственным спином. Энергия и импульс связаны соотношением: . Спин фотона имеет целочисленное значение. Следовательно, он является бозоном.

       Из принципа суперпозиции электромагнитных полей следует, что фотоны между собой не воздействуют. Поэтому излучение, заключенное в некотором объеме, представляет собой идеальный газ. При этом предполагается, что стенки, ограничивающие объем,  не пропускают излучение наружу. Они либо поглощают, либо отражают его. Если в стенке сделать маленькое отверстие, то мы сможем изучать спектральный  состав излучения. В данном случае само отверстие можно рассматривать как абсолютно черное тело, в том смысле, что оно поглощает любое излучение, попадающее на него. Далее будем полагать, что мы имеем дело с равновесным излучением. Под словом равновесное здесь понимается то обстоятельство, что стенки, ограничивающие объем, в среднем поглощают столько же фотонов, отвечающих определенным характеристикам, сколько и испускают их. Фотоны можно однозначно характеризовать импульсом или волновым числом и проекцией спина. Для частиц, движущихся со скоростью света, проекция спина может принимать только два значения. Спин ориентирован либо вдоль импульса, либо против него. Таким образом, коэффициент вырождения по проекции спина равен двум. С классической точки зрения этот коэффициент можно интерпретировать как два направления вектора поляризации. На практике фотоны удобно характеризовать частотой излучения – величиной, пропорциональной импульс, волновому числу и энергии фотона. Частота связана с энергией фотона соотношением: .

       Заметим, что отличительной особенностью нашего газа является то, что число частиц в нем является величиной переменной. Оно сохраняется лишь в среднем. Равновесному состоянию системы отвечает экстремум термодинамических функций по числу частиц. Следовательно, химический потенциал, который выражается через производную от термодинамических функций по числу частиц, равен нулю. Таким образом, наш газ является вырожденным. Распределение числа фотонов по частотам называется распределением Планка. Согласно равенству (33.7) оно имеет вид: