Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 22 )

  .         (54.5)

Коэффициент пропорциональности определяет плотность вероятности перехода

Процесс рассеяния принято характеризовать дифференциальным сечением ,  которое определяет отношение числа частиц, рассеянных в телесный угол , к величине этого угла и к плотности потока час­тиц, падающих на неподвижный рассеивающий центр. Эта величина явля­ется функцией модуля относительного импульса (скорости) и угла рассеяния (для сферических безспиновых частиц зависимость от азимутального угла отсутствует). Плотность потока рассеянных частиц равна относительной скорости , умноженной на число частиц, находящихся в единице объема:

.

Таким образом, число частиц, рассеянных в телесный угол на одной молекуле, находящейся в фазовом объеме , равно

.

Следовательно, число столкновений со всеми частицами объема мож­но представить в виде

          (54.6)

Сравнивая это выражение с равенством (54.5), получим связь величины w дифференциальным сечением:

    (54.7)

Здесь и являются функциями угла рассеяния .

Но нас не интересует значения и. Нас интересует число частиц, выбывших из объема - та величина, которую мы ранее обозначали как , Поэтому следует проинтегрировать выражение (54.6) по сратив , окончательно получим

          (54.8)

Теперь займемся вычислением величины . Число столкновений, соответствующих переходу дается выражением, аналогичным равенству (54.6):

.

Пространственный объем при столкновении у нас не меняется (координата остается неизменной, т. к. столкновение считается мгновенным) . Последующее интегрирование следует проводить по начальным импульсным объемам первой и второй частицы и по телесному. Однако начальные и конечные импульсы связаны между собой законами сохранения энергии и импульса:

  ;          (54.9)

Опираясь на эти законы, можно показать, при столкновении одинаковых частиц  модуль  относительного  импульса  остается  неизменным , а модуль якобиана перехода  от  координат        к координатам равен единице. Следовательно, произведение объемов тоже остается неизменным . В результате мы можем переписать выражение для следующим образом

    (54.10)

Проинтегрировав это равенство по и разделив на , получим вы­ражение для :

          (54.11)

Естественно, что здесь величины следует рассматривать как функ­ции .

Итак, подставляя равенства (54.8) и (54.11) в уравнение (54.3), получим

    (54.12)

Это уравнение называется кинетическим уравнением Больцмана. Оно является интегро-дифференциальным уравнением относительно функции распределения . Для его решения необходимо знать явный вид функции . В общем случае даже численное решение уравнения Больцмана представляет собой довольно сложную задачу. Получение же аналитических выражений возможно только для простейших ситуаций, требующих ряда дальнейших допущений. Тем не менее это уравнение имеет большое значение само по себе. Некоторые свойства системы можно получить, даже не решая его.

В заключение отметим, что хотя в качестве системы мы рассматривали идеальный газ, полученные результаты могут быть применимы и к другим подобным системам (электронный газ в металлах, движение нейтронов в веществе и т. д.).

Статистическая физика является частным предельным случаем кинети­ческой теории, соответствующим равновесному состоянию. Поэтому ее выводы должны вытекать из кинетической теории. Рассмотрим некоторые примеры.

Для идеального газа, находящегося в равновесном состоянии, функция

распределения не зависит от времени . Если к тому же отсутствует внешнее поле, то , а газ равномерно распределен по объему. Следовательно, функция распределения зависит только от импульса частицы, а . Более того, распределение должно быть изотропным, т. к. все направления движения частиц равновероятны. Т. е. функция распределения зависит лишь от модуля вектора импульса. Она является четной функцией своего аргумента. Поэтому удобней считать, что распределение зависит от квадрата импульса. В результате уравнение Больцмана принимает вид

.

Это равенство должно выполняться при всех значениях импульса . А это возможно, только если подынтегральное выражение (выражение в квадратных скобках) само по себе равно нулю:

  .         (55.1)

В этом выражении только три импульса являются независимыми величинами. Значение четвертого импульса может быть найдено из закона сохранения энергии (54.9): . Прологарифмируем равенст­во (55.1) и возьмем производную от правой и левой части по переменной :

;

.

Аналогичное выражение получается, если брать производную по перемен­ной :