Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 16 )

       Фазовые переходы, которые мы рассматривали ранее, называются переходами первого рода. Такие переходы имеют следующие характерные особенности:

1. Они сопровождаются выделением или поглощением теплоты. Переход осуществляется плавно по мере теплообмена с окружающей средой. Промежуточное состояние является гетерогенным, с четкой границей раздела между фазами.

       Наряду с фазовыми переходами первого рода большой интерес представляют переходы второго рада. Классификация фазовых переходов по родам основывается на порядке производной от химического потенциала, имеющей разрыв при переходе. В фазовых переходах первого рода терпят разрыв энтропия и объем, которые выражаются через первые производные от химического потенциала. В фазовых переходах второго рода эти величины меняются непрерывно при переходе от одной фазы к другой. Зато терпят разрыв их производные, т. е. теплоемкость, сжимаемость системы и коэффициент теплового расширения. Эти величины уже являются производными второго порядка от химического потенциала. Поскольку энтропии обеих фаз одинаковы в точке перехода, то процесс не сопровождается теплообменом. При этом переход осуществляется скачком сразу для всей массы вещества.

       Фазовые переходы второго рода нельзя описать уравнением Клайперона-Клаузиуса (44.2), так как в правой части мы имеем неопределенность типа ноль делить на ноль. Вернемся к равенству (44.1), и раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя. Для этого продифференцируем числитель и знаменатель правой части по . Учитывая, что температура и удельный объем одинаковы для обеих фаз, и используя равенства (11.5) и (14.4), получим для точки фазового перехода:

  .  (47.1)

Теперь продифференцируем числитель и знаменатель правой части уравнения (44.1) по . На основании равенств (13.21) и (13.13) можем написать:

  .  (47.2)

Таким образом, мы можем получить связь между изменениями теплоемкости, сжимаемости и коэффициента теплового расширения:

  .  (47.3)

Уравнения (47.1-47.3) называются уравнениями Эренфеста.

       Наиболее яркими примерами фазовых переходов второго рода являются переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное в точке Кюри, и возникновение явления сверхпроводимости в металлах и сверхтекучести в жидком гелии при низких температурах.

Тема: Распределение в квантовой статистике.

       В предыдущих параграфах мы рассматривали классический газ, опираясь на распределение Больцмана. Из нашего рассмотрения следовало, что теплоемкость остается величиной постоянной, не зависящей от температуры. Это противоречит третьему началу термодинамики (теореме Нернста), согласно которому теплоемкость должна стремиться к нулю, когда температура приближается к абсолютному нулю. Причина этого противоречия заключается в том приближении, которое мы использовали при выводе распределения Больцмана. А именно . При малых температурах, когда частицы стремятся перейти в самые нижние энергические состояния, числа заполнения  для них уже не будут удовлетворять требуемому  условию. Статистика Больцмана становится неприменимой.

       Вспомним, что данное приближение мы использовали для того, чтобы исключить  влияние квантовых обменных эффектов. Эти эффекты связаны с тем, что в системе тождественных квантовых частиц, даже в отсутствии фактического взаимодействия между ними, влияние частиц друг на друга все же имеется. Оно выражается в том, что волновая функция системы должна быть либо полностью симметричной, либо антисимметричной относительно перестановок любой пары частиц. Частицы, описываемые  антисимметричной функцией, называют фермионами, а статистика, которой они подчиняются, статистикой Ферми-Дирака. Для фермионов справедлив принцип Паули, согласно которому два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовым состоянии. Фермионы обладают полуцелым спином. Частицы с целым спином описываются симметричной волновой функцией. Они называются бозонами, а соответствующая им статистика – статистикой Бозе-Эйнштейна.

       Вначале рассмотрим случай идеального газа, состоящего из фермионов. Для этого вернемся к выражению (25.3), но теперь снимем ограничение . Входящий в это выражение большой термодинамический потенциал Гиббса определяет нормировочный множитель, и связан с большой статистической суммой соотношением (23.7). Сама же статистическая сумма в нашем случае равна:

  .  (33.1)

Но для фермионов числа заполнения могут принимать только два значения: 0 или 1. Таким образом, имеем:

    (33.2)

Среднее число частиц в -ом состоянии дается равенством (23.8):

  .  (33.3)

Это выражение и называются распределением Ферми.

       Если выполняется условие , т. е. , то мы получаем распределение Больцмана:

.

Распределение Ферми нормировано на полное число частиц:

  .  (33.4)

       Это дает возможность найти химический потенциал как функцию температуры и полного числа частиц.

       В выражениях, приведенных выше, большая статистическая сумма и термодинамический потенциал Гиббса относились к частицам, находящимся в -ом состоянии. Для всего газа в целом получим:

    (33.5)

       Перейдем к рассмотрению бозе-газа. В этом случае верхним пределом для чисел заполнения служит полное число частиц . Поскольку оно очень большое, то можно считать его равным бесконечности. Статистическая сумма представляет собой геометрическую прогрессию. Последняя будет сходиться только в случае, если знаменатель прогрессии . Это условие должно выполняться для любых значений энергии , а это возможно, только если .

       Заметим, что в случае газа Больцмана имеем большое отрицательное значение (). Для ферми-газа значение может быть любым. Можно показать, что для бозе-газа условие выполняется всегда. Итак, для статистической суммы имеем:

    (33.6)

Соответственно:

    (33.7)

Это выражение и называется распределением Бозе. Оно отличается от распределения Ферми только знаком при единице. Как и последнее, при оно переходит в распределение Больцмана. Т. е. для газа Больцмана безразлично, из каких частиц он состоит – фермионов или бозонов. Нормировка распределения Бозе аналогична предыдущему случаю:

  .  (33.8)

Большая статистическая сумма и термодинамический потенциал для всего газа имеют вид:

    (33.9)

Тема: Ферми-газ. Бозе-газ. Равновесие излучение.

       Важным с практической точки зрения примером вырожденного ферми-газа является электронный газ в металлах. Для конкретности, в дальнейших наших рассуждениях мы будем говорить именно о нем, хотя все полученные выводы справедливы для любого вырожденного ферми – газа.

       При понижении температуры электроны стремятся прейти в состояния с наименьшей энергией, и  таким образом они заселяют самые нижние энергетические уровни. Спин электрона равен . Следовательно, в отсутствие дополнительного вырождения квантовых уровней, согласно принципу Паули, на каждом из них может находиться по два электрона. При абсолютном нуле температуры уровней окажутся заполненными, а остальные - свободными. Энергия самого верхнего заполненного уровня называется энергией Ферми . Значение химического потенциала при абсолютном нуле температуры будет равно этой энергии. В самом деле, при величина