Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 20 )

Под микроскопом мы можем наблюдать только плоскую картинку. Поэтому удобно измерять линейное смещение, которое будет в три раза меньше:

    (50.4)

Это выражение называется формулой Эйнштейна-Смолуховского. Оно показывает, что средний квадрат смещения броуновской частицы зависит от температуры и вязкости среды, размеров частицы и пропорционально времени наблюдения. 

Тема: Элементы физической кинетики.

Физическая кинетика изучает неравновесные состояния и процессы. Их описание является задачей более сложной и более обширной, чем это име­ло место в статистической физике. Здесь мы не можем описать систему одним набором термодинамических параметров. Они могут меняться как в пространстве, так и во времени. И нам необходимо не просто определить значение параметров, а найти функции этих параметров в зависимости от координат и времени.

Следует заметить, что использование термодинамических параметров в полной мере правомерно лишь для равновесных состояний. Понятие той же температуры как меры энергии теплового движения подразумевает, что молекулы участвуют в хаотическом, а не направленном движении. Тем ни менее, термодинамические параметры используются и для описания не­равновесных систем. Их использование основывается на так называемом принципе локального равновесия. Вспомним, что время релаксации на­прямую зависит от размеров системы. Поэтому в небольшом объеме сис­темы равновесие наступает раньше, чем во всей системе в целом. Состоя­ние такого малого объема можно рассматривать как близкое к равновесно­му, т. е. считать его равновесным локально. Эти локальные объемы и ха­рактеризуются термодинамическими параметрами. Так как в целом систе­ма остается неравновесной, то при переходе от одной области пространст­ва к другой параметры будут меняться. Они могут меняться также с тече­нием времени. В математических выкладках локальные объемы считаются бесконечно малыми величинами. Таким образом, каждая точка простран­ства характеризуется своим значением параметров. Однако следует иметь в виду, что понятие термодинамической величины применимо лишь к сис­темам, имеющим достаточно большое число частиц. Поэтому локальные объемы называют физически бесконечно малыми величинами, подразуме­вая, что в них содержится большое число частиц, но их размеры намного меньше размеров самой системы.

Подобные рассуждения могут показаться не совсем логичными. Но, во всяком случае, использование термодинамических величин оправдано, ко­гда состояние системы не сильно отличается от равновесного, т. е. когда хаотическое движение превалирует над направленным.

Как и при изучении равновесных процессов, здесь возможны два под­хода: макроскопический (феноменологический) и микроскопический. В макроскопическом подходе мы оперируем только термодинамическими параметрами, отвлекаясь от внутренней структуры системы. При этом некоторые характеристики системы и законы их изменения приходится искать опытным путем. Макроскопический подход является более простым, менее детальным.

Микроскопический подход, который собственно и называется физической кинетикой, является дальнейшим развитием идей, заложенных в ста­тической физике. Здесь, как и в статистической физике, используется понятие функции распределения - функции координат точек фазового пространства и времени, позволяющей определить вероятность того или то микросостояния. Как и прежде, основная задача кинетики заключается в нахождении этой функции. В дальнейшем, через эту функцию можно определить значения термодинамических величин, как среднее по фазовому объему. Однако если в статистической физике мы имели распределение Гиббса, применимое к любым равновесным состояниям и процессам, то здесь не найдено такого универсального распределения. Поэтому пока не построено единой теории, позволяющей описывать все многообразие явлений, связанных с неравновесными состояниями. Хотя на сегодняшний день и выработаны некоторые общие положения в этом направлении, но они мало пригодны в конкретных расчетах. В связи с этим используются несколько различных моделей, имеющих свои преимущества и недостатки, Рассмотрим основные из них.

Изучение сложных явлений всегда начинается с феноменологического подхода, который в данном случае называют квазимактроскопическим. Его суть заключается в том, что распределение ищется не по микроскопическим, а по макроскопическим параметрам, которые характеризуют макроскопическое состояние системы. Например, таким как температура, давление концентрация и т. д. При этом полагается, что изменения состояния системы можно характеризовать определенной вероятностью перехода из одного макроскопического состояния в другое.

Пусть имеется некоторый параметр, характеризующий систему. Обозначим через плотность вероятности того, что в момент времени t величина параметра лежит в окрестности значения , а через - вероятность перехода системы из состояния с параметром в состояние с параметром за время , намного меньшее времени релаксации. Предположим также, что эта вероятность не зависит от того, как система попала в исходное состояние. Тогда вероятность об­наружить систему в состоянии с величиной параметра, лежащей в окрестности значения , в момент времени  равна

                                (52.1)

где интегрирование ведется по всем допустимым значениям. Это уравнение получило название уравнения Смолуховского.

Используя несколько дополнительных приближений, этому выраже­нию можно придать вид дифференциального уравнения. Сделав замену переменных , перепишем его в виде.

(52.2)

Поскольку интегрирование ведется по всем допустимым значениям, знак минус опущен (он эквивалентен перестановке верхнего и нижнего преде­ла). Далее, полагая, что является малой величиной, разложим левую часть уравнения по и ограничимся линейным членом

В правой части разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по. Хотя изменение параметра может принимать большие значения, вполне естественно предположить, что вероятность сильного изменения параметра за короткий промежуток времени мала. Т. е. подынтегральное выражение быстро убывает с ростом модуля

Таким образом, приходим к следующему уравнению

Учитывая, что из условия нормировки и вводя для крат­кости обозначения 

    (52.3)

получим

Теперь разделим это выражение на и перейдем к пределу при —>0:

Заметим, что

    (52.4)

есть некоторое среднее значение скорости изменения параметра со вре­менем. Для предела, входящего во второе слагаемое, введем обозначение

    (52.5)

Наконец используя обозначение:

                         (52.6)

получим окончательное выражение для уравнения, получившего название уравнения Фоккера - Планка:

    (52.7)