Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 18 )

    (38.1)

       Подобно тому, как это делалось раньше, заменим суммирование по частотам интегрированием по фазовому объему:

       Проинтегрировав это выражение по объему и углам импульсного пространства, найдем распределение по модулю импульса:

    (38.2)

Сделав замену , получим распределение по частотам:

    (38.3)

Наконец, умножив это выражение на энергию фотона, найдем энергетическое распределение:

  ,  (38.4а)

где

    (38.4б)

Величина называется спектральной плотностью, а полученное выражение - формулой Планка. Это выражение послужило отправной точкой для развития квантовой механики. Его справедливость может быть проверена экспериментально с большой точностью.

       При низких частотах, когда , экспоненту можно разложить в ряд Тейлора. Ограничившись линейным членом, получим:

    (38.5)

Это выражение называется формулой Рэлея-Джинса. Оно не содержит квантовой постоянной и является классическим аналогом формулы Планка. Его можно получить на основании закона о равнораспределении, согласно которому на каждую колебательную степень свободы (на каждую частоту) приходится одинаковая энергия, равная . Формула Рэлея-Джинса была получена ранее формулы Планка, и она приводит к парадоксу, получившему название ультрафиолетовой катастрофы. Суть его заключается в том, что с увеличением частоты спектральная  плотность неограниченно  возрастает. Это означает, что энергия излучения абсолютно черного тела равна бесконечности, что противоречит экспериментальным наблюдениям и здравому смыслу. Ультрафиолетовая катастрофа и послужила основанием для поиска правильного выражения, найденного Планком.

       Рассмотрим другой предел соотношения частот и температуры: . В этом случае можно пренебречь единицей, состоящей в заменителе равенства (4). В результате спектральная  плотность будет выглядеть как:

    (38.6)

         

 

Данное выражение называется законом Вина. Из него следует, что с  увеличением частоты спектральная плотность стремится к нулю. Таким образом, спектральная плотность имеет максимум при некотором значении частоты. График зависимости плотности от частоты, определяемой  равенством (38.4), представлен на рисунке. Численные расчеты дают для максимума значение, равное:  . Его положение смещается в сторону высоких частот пропорционально температуре. Это так  называемый закон смещения. Он позволяет измерять температуру тела, когда непосредственный контакт с ним невозможен (звезды, распределенный метал).

       Найдем интегральную плотность - энергию, приходящуюся на единицу объема. Для вычисления интеграла используем равенства (П.3), (П.6) и (П.7):

    (38.7)

Это выражение получило название закона Стефана - Больцмана. Интегральная плотность пропорциональна светимости тела, которая легко измеряется на эксперименте. Таким образом, закон Стефана - Больцмана дает еще одну возможность измерения температуры тела.

Тема: Элементы теории флуктуации.

Вернемся к телу, помещенному в термостат. Как и ранее, выразим плотность вероятности через изменение энтропии всей системы (тело плюс термостат):

  ~  (49.1)

Входящее сюда изменение энтропии можно связать с работой, совершаемой над телом в адиабатическом процессе. При неизменном значении внешних параметров равновесное состояние всей системы однозначно определяется ее температурой. Энтропия и энергия системы являются функциями состояния системы.  Следовательно, для равновесных состояний эн­тропия будет однозначной функцией энергии: . Изобразим эту зависимость графически. Теперь предположим, что система, находящаяся в равновесном состоянии а, в результате флуктуации перешла в неравновесное состояние .

         

 

         

       

       

       

Поскольку в целом система изолирована, то ее энергия при этом не изменится, а энтропия уменьшится на величину . В это же состояние мы можем перевести систему, если совершим над телом работу в адиабатическом процессе. При этом мы должны исходить из состояния , для которого энтропия будет иметь то же значение, что и в состоянии . В результате этого процесса энергия системы изменится на величину , которая равна совершенной работе. Используя равенст­во (8.1) и то обстоятельство, что флуктуации малы, мы можем написать:

Работа, совершаемая в равновесном процессе, над телом,  погруженным в термостат, дается равенством (12.2):

;  .

В этом выражении U, V, S уже относятся к телу, а Р и Т являются общими для тела и термостата и остаются практически неизменными. Таким образом, изменение энтропии всей системы принимает вид:

          (49.2)

Предположим, что наше тело представляет собой простую PVT-систему. Такая система имеет всего два свободных параметра. В качестве этих параметров выберем объем и энтропию, а внутреннюю энергию разложим в ряд Тейлора по ним. Учитывая равенства (10.3) и (11.1), получим:

Подставим это разложение в выражение для , и ограничимся первыми значащими членами - членами второго порядка малости. Линейные члены сокращаются. Это является следствием того, что в равновесном состоянии энтропия тела имеет максимум. Следовательно, ее первые производные должны равняться нулю.

Для дальнейшего преобразования найдем приращения производных от энергии по независимым переменным:

; 

Заменив вторые производные в выражении для найденными значениями, и  подставив его в равенство (49.2), найдем:

Соответственно, для плотности вероятности (49.1) получаем:

  ~  (49.3)