Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 23 )

.

Таким образом, имеем

Но в правую и левую части этого равенства входят независимые переменные. Равенство возможно, если обе стороны равны одной и той же постоянной величине, которую мы обозначим через . В результате мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

,

решение которого имеет вид

А это есть ни что иное, как распределение Максвелла (21.1).

Другим следствием уравнения Больцман является закон возрастания нтропии. Сам Больцмана рассматривал не энтропию, а функцию , которая отличается от усредненной по объему энтропии (7.9) лишь множителем. Выведенное ниже утверждение получило название Н - теоремы Больцмана.

Возьмем производную по времени от функции Н :

.

Подставив в это выражение значение из (54.3) и учитывая, что для замкнутой системы F=0 (именно для такой системы выполняется закон возрастания энтропии), получим

          (55.2)

Первое слагаемое в квадратных скобках обусловлено столкновением час­тиц:

           (55.3)

Второе слагаемое обусловлено перемещением отображающих точек в фа­зовом пространстве. Оно, вместе с множителем и интегралом, представля­ет собой дивергенцию плотности потока функции Н (энтропии). В самом деле, вектор плотности потока Н равен

          (55.4)

Соответственно, его дивергенция запишется как

.

Таким образом, мы можем переписать наше равенство в следующем виде

  .  (55.5)

Если бы столкновения отсутствовали, мы бы получили обыкновенное уравнение непрерывности

,

отражающее закон сохранения энтропии. Напомним, что закон возраста­ния энтропии связан с переходом от упорядоченного движения к хаотич­ному, которое возникает именно в результате столкновений частиц.

Далее вспомним, что мы рассматриваем усредненное по объему значе­ние энтропии. Следовательно, дивергенция плотности потока рана нулю. В отдельной области пространства энтропия может увеличиваться или уменьшаться за счет переноса ее в другую область. На среднее же значение потоки не влияют.

Итак, нам осталось найти изменение функции Н, связанное со столк­новениями частиц. Используя выражение для интеграла столкновений, и вводя для краткости обозначения получим

    (55.6)

Давайте покажем, что эта производная есть величина положительная. Для этого переобозначим переменные интегрирования, входящие в это выражение, следующим образом: (модуль относительного импульса при этом не изменится):

    (55.7)

Сложив равенства (55.6) и (55.7) и разделив на два, найдем

  .  (55.8)

Теперь используем следующую замену переменных, . Учитывая, что и получим

    (55.9)

Наконец, складывая равенства (55.8) и (55.9) и разделив на два, окончательно приходим к следующему равенству

    (55.10)

Поскольку логарифм - функция монотонная, то множители и одновременно меняют свой знак. Подынтегральное выражение есть монотонная положительная функция. Следовательно,. Равенство  нулю  имеет  место  тогда,  когда , т. е. когда система переходит в равновесное состояние.

Тема: Явление переноса.

В неравновесной системе возникают процессы, связанные с переносом различных физических величин (тепла, массы, энергии, импульса, заряда и т. д.). В этом случае говорят о потоках этих величин. Причиной возникно­вения потока служит неоднородное распределение некоторого интенсив­ного параметра системы в пространстве. Как уже говорилось, замкнутая система стремится выровнять интенсивные параметры по всему объему. Это стремление и приводит к возникновению различного рода потоков ад­дитивных величин (экстенсивных параметров), которые в общем случае мы будем обозначать буквой z.

Постараемся математически выразить эту причинно-следственную связь. Степень неоднородности параметра характеризуется его градиентом.

Вследствие того, что градиент является причиной изменения состояния системы, его принято называть термодинамической силой:

          (57.1)

Количественной характеристикой самого потока является вектор плот­ности потока . Он указывает направление, в котором переносится неко­торая физическая величина. Его модуль равен количеству переносимой ве­личины в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной на­правлению вектора. При небольших значениях силы (небольшого отклоне­ния системы от равновесного состояния) плотность потока линейным об­разом зависит от величины силы

          (57.2)

Знак минус указывает на то, что физическая величина переносится в на­правлении, обратном направлению возрастания параметра . Коэффици­ент пропорциональности L носит название кинетического коэффициента. Примером подобных связей могут служить ряд законов, установленных опытным путем.

Закон Ома в дифференциальной форме. Плотность тока рана удельно­му сопротивлению, умноженному на напряженность электрического поля (градиент потенциала): .

Закон Фурье. Плотность потока теплоты пропорциональна градиенту температуры: называется коэффициентом теплопровод­ности. В общем случае он может зависеть от температуры.

Закон Фика. Плотность потока массы пропорциональна градиенту кон­центрации: . С позиций термодинамики удобней использо­вать не массу и концентрацию, а число частиц и химический потенциал, однозначно связанный с концентрацией: . Явление, связан­ное с переносом массы, называется диффузией. Коэффициент пропорцио­нальности D называется коэффициентом диффузии.

Итак, мы установили связь между неоднородностью интенсивного па­раметра и потоком аддитивной величины. Теперь нам предстоит опреде­лить, как будут меняться значения параметра и этой величины с течением времени.

Изменение физической величины , заключенной в некотором объеме V, может быть вызвано двумя причинами.

Во-первых, за счет переноса этой величины из объема или в объем. Это изменение в единицу времени определяется суммарным потоком величины через поверхность, ограничивающую объем: .

Во-вторых, за счет воспроизводства или поглощения величины при наличии ее источников внутри объема: ,