Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 3 )

Пусть макроскопическими параметрами, т. е. макроскопически измеряемыми величинами, являются функции канонических переменных:

, причем где

Тогда  задание  всех Fk не  определят всех X. Следовательно,  исходя из макроскопических измерений, можно  сделать только статистические  суждения о значениях микроскопических  переменных X. Таким  образом, макроскопически задаваемая система с неизбежностью должна  изображаться статистически, т. е., не посредством  задания всех канонических  переменных  X, а  посредством  задания плотности  вероятности этих переменных w (X1, X2, …., X6N, t), или  сокращенно  w(X1, t). Эта  фазовая  плотность вероятности называется иногда также  фазовым распределением  вероятностей, или  просто  фазовым  распределением. 

       Зная фазовую  плотность  вероятности, можно  вычислить  вероятность обнаружить систему в заданном  фазовом  объеме G:

.

Если область  G охватывает весь фазовый  объем, занимаемый всеми  возможными  фазовыми точками, то W (G) превращается в достоверность, т. е. равно единице. Отсюда получаем условие нормировки:

,

где (Х) означает интегрирование по всей области изменения канонических переменных Х. это условие постоянно используется в статистической физике для определения постоянных множителей, стоящих перед выражениями вероятностей.

       Зная , можно вычислить статистическое среднее значение любой физической величины согласно формуле:

,

а также среднее квадратичное уклонение:

.

При статистическом описании механической системы материальных точек рассматривается не движение одной единственной системы с заданными начальными значениями канонических переменных, а движение целой совокупности фазовых точек, изображающих набор возможных состояний данной системы.

Такая совокупность фазовых точек, теоретически изображающих различные возможные микроскопические состояния системы, называется фазовым ансамблем.

Если каждому возможному состоянию приписывается определенная вероятность, т. е. вводится фазовая плотность вероятности, то отдельная точка фазового ансамбля рассматривается как случайная величина. В этом случае фазовый ансамбль называют статистическим фазовым ансамблем.

Движение фазового ансамбля в фазовом пространстве  можно рассматривать как движение фазовой жидкости, по аналогии с движением обычной жидкости в трехмерном пространстве. Иначе говоря, точки фазового пространства отождествляются с точками воображаемой фазовой жидкости, заполняющей пространство.

Легко доказать, что для систем, удовлетворяющих уравнениям Гамильтониана, фазовая жидкость несжимаема. Действительно, плотность обычной трехмерной несжимаемой жидкости постоянна. Следовательно, в силу уравнения непрерывности

и условия  для несжимаемой жидкости  имеем:

.

       Для жидкости в многомерном пространстве эта теорема без труда обобщается, а следовательно, для несжимаемой фазовой жидкости должно удовлетворяться  условие равенства нулю многомерной дивергенции, т. е.

.

       Легко однако видеть, что в силу уравнений Гамильтона

,

что  и  требовалось доказать.

       Поскольку  фазовая жидкость несжимаема,  поскольку при ее  движении  остается неизменным  фазовый  объем, занимаемый любой частью этой  жидкости.

       Таким  образом, если  определить фазовый объем как 6N - мерный объем части  фазового  пространства, ограниченной замкнутой гиперповерхностью, образуемой фазовыми  точками, изображающими  состояния  системы,  то имеет  место  теорема о сохранении  фазового объема, или  теорема Лиувилля.

       Если и - две физические  величины, относящиеся к двум  различным  подсистемам, то из определения средних значений непосредственно следует, что  среднее значение произведения  равно произведению средних значений каждой из величин  и в отдельности:

.

Рассмотрим какую - либо величину , относящуюся к некоторому макроскопическому телу или его отдельной части. С течением времени эта  величина меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в среднем ширину интервала этого изменения. В качестве такой характеристики нельзя взять среднее значение разности , так как величина отклоняется от своего среднего значения как в ту, так и в другую сторону, и среднее значение разности , попеременно то положительной, то отрицательной окажется равным нулю независимо от того, насколько часто испытывала значительные отклонения от своего среднего значения. В качестве искомой характеристики удобно взять среднее значение квадрата этой разности. Так как величина всегда положительна, то ее среднее значение стремится у нулю лишь в том случае, если она сама стремится к нулю; другими словами, оно окажется малым только тогда, когда значительные отклонения от обладают малой вероятностью. Величина

называется средней квадратичной флуктуацией величины . Отметим, что

,

откуда

=

т. е. средняя квадратичная флуктуация определяется разностью между средним квадратом величины и квадратом ее среднего значения.

       Отношение

называют относительной флуктуацией величины . Чем это отношение меньше, тем более ничтожную часть времени тело проводит в таких состояниях, в которых отклонение величины от ее среднего значения составляет заметную часть этого последнего.

Тема: Микроканонические распределения. Энтропия.

Функция распределения может зависеть только от таких комбинаций , которые не меняются в процессе движения микрочастиц. Функции координат и импульсов, которые не меняют своего значения, называются интегралами движения. Следовательно, нашу функцию можно представить как комбинацию интегралов движения, в результате она сама есть интеграл движения. Число таких интегралов можно заметно сузить.

Давайте разобьем нашу систему на квазинезависимые подсистемы. Как уже говорилось, функция распределения всей системы будет представлять собой произведение соответствующих функций подсистем.  Следовательно: