Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» Учебно — методические материалы (стр. 19 )

Опираясь на это равенство и выбрав ту или иную пару независимых переменных, можно получить флуктуации различных величин. Рассмотрим несколько примеров.

В качестве независимых переменных выберем пару (, V). Изменения остальных параметров, входящих в выражение (49.3), выразим через изменения этих независимых величин. Воспользовавшись равенствами (11.5), (13.13), (13.14), (14.5), найдем:

Таким образом, плотность вероятности распадается на два независимых

множителя:

w (T, V) = w(T)w(V), где

                                 

                  (49.4)

Т. е. флуктуации температуры и объема статистически независимы. Каждое из этих выражений представляет собой распределение Гаусса. Следова­тельно, флуктуации этих параметров равны:

      (49.5)

Для получения конкретных величин следует знать значения теплоемко­сти и сжимаемости тела. В случае идеального одноатомного газа теплоем­кость дается равенством (28.8). Сжимаемость можно найти, используя уравнение состояния газа (27.8):

Соответственно, для флуктуации получаем:

   

Следует отметить одну особенность, касающуюся полученных выра­жений. При их выводе мы предполагали, что флуктуации малы. Однако вблизи критической точки, когда сжимаемость неограниченно возрастает, флуктуации будут велики, наши выражения становятся неприменимы.

Рассмотрим другой пример. В качестве независимых переменных вы­берем пару (S, P). При получении выражений для изменения температуры и объема используем равенства (11.5), (13.13), (14.5).

Оставшуюся производную, входящую во второе выражение, преобразуем согласно равенствам (13.7), (14.5):

Таким образом, имеем:

Как и прежде, плотность вероятности распадается на два независимых множителя, представляющие собой распределение Гаусса:

где

                                  (49.6)

Соответственно, для флуктуации получаем:

      (49.7)

В случае идеального одноатомного газа теплоемкость при постоянном давлении равна (см.(28.8)): 5 Nk/2, а сжимаемость при постоянной энтропии находим их адиабаты Пуассона (29.7):

где , а - постоянная величина;

При последнем преобразовании использовано уравнение состояния идеального газа (27.8). В результате для флуктуации имеем:

     

Здесь маленькой буквой s обозначена удельная энтропия. Как и следовало ожидать, удельные флуктуации термодинамических величин обратно пропорциональны корню квадратному из числа частиц.

Наглядным доказательством флуктуации физических величин служит броуновское движение. Микроскопические частицы, взвешенные в среде, совершают непрерывное хаотическое движение, напоминающее движение самих молекул среды. Броуновское движение вызвано флуктуациями давления, оказываемого средой на противоположные стороны частицы. В результате этих флуктуации на частицу действует некоторая сила F(t), хао­тически меняющаяся со временем.

Найдем среднеквадратичное отклонение частицы от его первоначаль­ного положения как функцию времени. Для этого напишем ее динамиче­ское уравнение движения:

           (50.1)

где - сила сопротивления (вязкости) среды, которая, согласно закону

Стокса, равна:

                                                  (50.2)

Здесь мы полагаем, что частица имеет сферическую форму. Ее диаметр обозначили через d, а коэффициент вязкости среды - через . Умножим правую и левую части уравнения (50.1) на радиус-вектор и преобразуем их следующим образом:

В результате наше уравнение примет вид:

    (50.3)

где Ек - кинетическая энергия частицы. Теперь усредним это выражение. Усреднение можно вести или по всем частицам, или по времени для одной частицы. Согласно эргодической гипотезе, результаты должны быть оди­наковыми. Заметим, что положение частицы и сила , действующая на нее, являются двумя независимыми статистическими величинами. Следо­вательно, среднее от их произведения равно произведению средних значе­ний. Но среднее значение хаотической силы равно нулю. Тем самым мы исключили неизвестную нам величину. Далее, согласно теореме о равнораспределении, среднее значение кинетической энергии равно .

И, наконец, усреднение по частицам и взятие производной по времени являются независимыми операциями, поэтому мы можем поменять их местами. Введя обозначение, перепишем уравнение (50.3) в виде:

          (50.4)

Общее решение неоднородного линейного уравнения есть сумма част­ного решения и общего решения однородного уравнения. Поскольку свободный член является константой, то частное решение ищется тоже в виде константы. В нашем случае оно равно:

Общее решение однородного уравнения дается экспоненциальной функцией:

Таким образом, решение уравнения (50.4) есть:

Для достаточно большого промежутка времени первым членом этого выражения можно пренебречь. Окончательно имеем:

где - начальное положение частицы. Если рассматривать это выражение

как среднее по времени, то является константой, и  при t=0.

Поскольку отклонения по всем направлениям равновероятны, то не меняется со временем. Подставив значение из (50.2), получаем для среднеквадратичного отклонения частицы: