Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 10 )

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

По определению

Определитель III порядка можно вычислять непосредственно по правилу Саррюса, но можно свести к вычислению нескольких определителей II - порядка путем разложения по строке или столбцу.

1.  Вычислить определитель квадратной матрицы

(а) По правилу Саррюса (см. §3), имеем

= =

(б) Вычислим \А\ путем разложения по III -му столбцу (см. §3 свойство 6 ):

(в) Вычислим этот определитель, разложив его по II строке:

(2) Вычислим \А\ путем разложения по 1 столбцу, предвари­тельно обратив 2 элемента этого столбца в нули ( см. §3) свойство 9)

(1) - I-ю строку оставили без изменения, к 11 строке прибавили 1-ю, умноженную на-1, к III строке прибавили 1-ю.

Итак,

Можно показать, что все элементы строки или столбца опреде­лителя, кроме одного, путем элементарных преобразований на осно­вании свойства 9 можно обратить в нули. Последний способ вычис­ления \А\ самый экономный, рациональный.

2.  Вычислить

Мы здесь разложим по элементам 1 - го столбца, предвари­тельно обратив в нули 2 его элемента. Разложим по элементам 1 строки, обратив 2 ее элемента в нули посредством элементарных преобразований:

3. Вычислить

Чтобы вычислить определитель IV порядка, надо разложить его по строке или по столбцу, тем самым свести его вычисление к вычислению определителей III - го порядков.

Разложим по элементам IV столбца:

(1) - минор разложили по элементам 1 строки.

- алгебраические дополнения элементов IV столбца определителя ; - алгебраические дополне­ния элементов 1 строки определителя )

Вычислим определитель , разлагая его по элементам 1 строки:

(1) - минор разложили по элементам I строки.

Замечание. При разложении определителя по строке или столбцу мы для полной ясности писали и слагаемые с нулевыми мно­жителями типа , в дальнейшем такие слагаемые мы будем опускать.

4. Вычислить определитель

(1)-из II, IV и V столбцов вынесли общие множители за знак определителя соответственно 2,2,5,

(2) - из элементов II столбца вычли элементы 1 столбца,

(3) - разложили по элементам 1 строки

(4) - к II строке прибавили 1 -ю и затем из 1-го столбца вынесли

общий множитель -2

(5) - разложили по элементам II - го столбцу и вынесли общий

множитель из II-и строки

(6) - из II строки вычли III - ю.

5. Вычислим определитель так называемой треугольной мат­рицы ( см. §2):

Общий член имеет вид где

- номера столбцов, которым принадлежат данные элементы, так, на­пример, находится на пересечении 1 - й строки и столбца, - III строки и столбца и т. д. Выберем элементы таким образом, чтобы в общий член не входили нулевые элемен­ты. Ясно, что , так как . Итак . Аналогично, , так как не может равняться 1, ибо в общий член уже входит представиго столбца, но , так как

Рассуждая аналогично, мы приходим к выводу, что и общий член имеет вид все остальные члены определителя равны нулю и кроме того перестановка вторых индексов

четная

Путем аналогичных рассуждений можно показать, что опреде­литель любой треугольной матрицы (верхнетреугольной, нижнетре­угольной) равен произведению его диагональных элементов:

Замечание. Мы знаем, что член берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную перестановку. В случае треугольных матриц вторые индексы образуют перестановку (1 2 ...п), которая имеет 0 беспорядков эта перестановка четная, т. е. член берется со знаком "+".

В частности, так называемые диагональные матрицы тоже яв­ляются треугольными

В частности единичная матрица Е тоже диагональная (тре­угольная)

6. Вычислить определитель

Определитель легко обращается в верхнетреугольный, если к каждой строке, начиная со II-й прибавить 1 - ю:

  Вычислить определитель квадратной матрицы п - го порядка

К первому столбцу прибавим все остальные столбцы