Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 15 )

Y

M(x, y)

F1 O F2 X

рис. 28

По определению гиперболы |MF1-MF2|=2a

Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе координат и при данных обозначениях имеет вид

x2/a2-y2/b2=1,

где b2=c2-a2 (c>a).

Исследуем формулу гиперболы по ее каноническому уравнению.

1) Гипербола имеет две оси симметрии и центр симметрии. При этом одна их осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.

Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью. Действительная ось гиперболы, заданной своим каноническим уравнением, совпадает с осью ОX, мнимая с осью OY, центр гиперболы с началом координат. Вершины гиперболы имеют координаты (-a,0), (a,0)

Число а называется действительной полуосью гиперболы, число b мнимой полуосью.

2)Гипербола располагается вне прямоугольника |x|<a, |y|<b и состоит из двух отдельных ветвей. Диагонали прямоугольника определяются уравнениями являются асимптотами гиперболы.

b

- a 0 a

b

рис. 29.

ПАРАБОЛА

Парабола - это линия, образованная точками, равноудаленными от данной точки F и от данной прямой (при условии, что данная точка не лежит на этой прямой)

Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая директрисой параболы.

Выберем систему координат таким образом: за ось ОX примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от фокуса до директрисы, длину которого обозначим p.

Пусть М(x, y) - произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть N - основание перпендикуляра, опущенного из М на директрису. По определению МN=MF

Из этого получается каноническое уравнение параболы y2=2px

Y

 

N M

- p/2

O F(/p2,0) X

рис. 30

Свойства параболы.

1) Парабола имеет ось симметрии. Осью параболы является ось ОX. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершиной параболы является начало координат.

2) Вся парабола находится в правой полуплоскости.

10.  Уравнение директрисы x=-p/2

Глава VIII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

1) Уравнение плоскости.

Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка M0(x0,y0,z0). Зададим произвольный вектор n={A, B,C}. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n.

Пусть M(x, y,z) - любая точка этой плоскости. Тогда вектор будет перпендикулярен вектору n, а, следовательно, их скалярное произведение равно нулю n=0.

Это равенство справедливо для всех точек плоскости и нарушается для точек, на принадлежащих этой плоскости.

В координатной форме это уравнение имеет вид

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (1)

Вектор n={A, B,C} называется нормальным вектором плоскости.

Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить D=-(Ax0+By0+Cz0), то получится уравнение первой степени

Ax+By+Cz+D=0 (2)

которое называется общим уравнением плоскости.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0

Вопрос об определении угла между этими плоскостями сводится к определению угла между их нормальными векторами n1={A1,B1,C1}, n2={A2,B2,C2} .

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле

Условие параллельности двух плоскостей эквивалентно коллинеарности векторов n1 и n2 т. е. имеет вид A1/A2=B1/B2=C1/C2

Условие перпендикулярности двух плоскостей эквивалентно условию ортогональности векторов n1 и n2, т. е. имеет вид A1A2+B1B2+C1C2=0

3. Уравнение плоскости, походящей через три различные точки, не лежащих на одной прямой.

Выведем уравнение плоскости проходящей через три различные точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).

Пусть М(х, у,z) точка лежащая в одной плоскости с точками М1, М2, М3. Тогда векторы компланарны. Векторы

={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, ={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, ={x-x1,y-y1,z-z1}

компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя выражение смешанного произведения в координатах, получаем уравнение плоскости, проходящей через три указанные точки M1,M2,M3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1.Уравнение прямой в пространстве.

Пусть в заданной системе координат дана точка M0(x0,y0,z0) и вектор q={l, m,n}. Через точку M0 параллельно вектору q можно провести единственную прямую в пространстве. Найдем ее уравнение.

На искомой прямой возьмем точку М(x, y, z). Тогда радиус - вектор можно представить в виде . Вектор коллинеарен вектору q, поэтому =lq. Получаем

+lq (1)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой, вектор q называется направляющим вектором прямой. Записывая уравнение (1) в координатной форме

x=x0+ll

y=y0+lm - ¥<l< +¥ (2)

z=z0+ln

получим параметрическое уравнение прямой. Выражая из каждого равенства (2) параметр l и приравнивая полученные выражения друг к другу имеем

(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой.

Прямую линию в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей.

(4)

Предполагается что плоскости не параллельны и не совпадают.

2.Взаимное расположение двух прямых.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями

(x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1, q1={l1,m1,n1}

(x-x2)/l2=(y-y2)/m2=(z-z2)/n2, q2={l2,m2,n2}

Очевидно, что угол между этими прямыми можно принять угол между их направляющими векторами.

Если две прямые параллельны то их направляющие вектора коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности двух прямых l1/l2=m1/m2=n1/n2

Условие перпендикулярности двух прямых следует из условия перпендикулярности их направляющих векторов l1l2+m1m2+n1n2=0

3.Угол между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение прямой линии (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n и уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0. q={l, m,n} - направляющий вектор прямой, n={A, B,C}- нормальный вектор плоскости. Угол между прямой и плоскостью j

является дополнительным к углу между векторами q и n, значит

Условие параллельности прямой и плоскости следует из ортогональности векторов q и n Al+Bm+Cn=0

Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно коллинеарности векторов q и n, значит A/l=B/m=C/n

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

  Дан треугольник ABC. На стороне ВС расположена точка М так чтобы |BM|/|MC|=l. Найти если ,.

Решение.

  Дано . Доказать, что ABCD – трапеция.

Решение. `. Следовательно, векторы и коллинеарны. Векторы и не коллинеарны. Поэтому четырехугольник ABCD трапеция.

  Даны точки M1(1,2,3) и M2(3,-4,6). Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

Решение. ;