Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 13 )

Система совместная, неопределенная.

Таким образом, если ступенчатая форма системы имеет тре­угольный вид (см. пример 3), то она совместная, определенная; ес­ли ступенчатая форма имеет вид трапеции, то система совместная, неопределенная (пример 5).

6. Решить однородную систему линейных уравнений

Однородная система совместна, так как она имеет нулевое ре­шение (тривиальное решение). Более важным для однородной сис­темы является наличие у нее ненулевых решений: (a1, a2, a3), где, хотя бы одно ai отлично от нуля.

Вычислим определитель системы:

= 37(¹ 0) Þ

система имеет единственное решение ( по теореме Крамера), т. е. система совместная, определенная. Но она как однородная сис­тема имеет тривиальное решение (0,0,0) Þ это решение единствен­ное, других решений у нее нет, иначе система не имеет ненулевых решений.

7. Решить однородную систему методом Гаусса.

Рассмотрим ее расширенную матрицу:

Последней матрице соответствует система

Система имеет трапециидальную форму Þ она совместная, не­определенная. Объявим хз - свободной неизвестной, x1 и х2 - главными неизвестными

x1 = - x3 – 3x2 = - x3 - 3 = - x3 + = -

Общее решение:

Запишем несколько частных решений.

Пусть x3 = 0: (0; 0; 0) - тривиальное решение.

Пусть x3 = - 1: ()

Пусть x3 = 1: и т. д.

8. Исследовать на совместимость методом Гаусса

Последней строке матрицы соответствует уравнение:

0x1 +0x2 +0x3 = -5,

которое не имеет решений Þ система, содер­жащая это уравнение, сама не имеет решений, т. е. несовместная.

Этот факт несовместности системы можно обосновать и тео­ремой Кронекера- Капелли: матрица А приводится к ступенчатому виду с двумя ненулевыми строками (см. преобразование ).

т. е. rA =2,

но 4,

ступенчатый вид для имеет 3 ненулевых строки = 3, таким образом rA ¹ система несовместная.

9. Решить по методу Гаусса систему линейных уравнений:

Имеем

x3 = -1; x4 = 16 + 13x3 = 3; x2 = 6 + 4x3 = 2; x1 = 5 – x2 – x3 - x4 = 1

Решением системы будет вектор = (1; 2; -1; 3), она совмест­ная, определенная. Систему можно решать и по методу Крамера, так как ее определитель не равен нулю (D = 29)

10. В заключение решим систему линейных уравнений мат­ричным методом.

Рассмотрим систему

Для матрицы М этой системы мы уже находили М-1 (см. §6, обратная матрица).

Запишем систему в матричной форме М , где

, ,

Решение матричного уравнения имеет вид: (см. §6, обратная матрица)

Þ x1 = 2; x2 = 3; x3 = - 2, т. е. решением будет вектор = (2; 3; -2).

Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

СИСТЕМА КООРДИНАТ

Задачей аналитической геометрии является изучении свойств геометрических объектов с помощью алгебры на основе применения координат. Впервые систематически метод координат был применен Декартом.

Из школьного курса математики известно, что положение любой точки М на плоскости, относительно заданной прямоугольной системы координат определяется с помощью пары чисел x - абсцисса точки, y - ордината точки. Символически это записывается так М (x, y).

(В пространстве положение точки определяется тройкой чисел (x, y, z) см. §5 гл.1)

Декартова система координат не является единственной системой координат, позволяющей определить положение точек на плоскость или в пространстве, но является наиболее часто используемой координатной системой.

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Выберем на плоскости точку О (полюс) и некоторый исходящий из нее луч OX (полярная ось), укажем единицу масштаба.

Полярными координатами точки М называется два числа r и j, первое из которых r( полярный радиус ) равен расстоянию от точки М до точки О, а второе (полярный угол j) - угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч ox до совмещения с лучом ОМ ( рис.19)

M

r j

O X

рис.19

Точку М с полярными координатами r и j обозначают так М (r, j)

Что касается значений принимаемых полярными координатами обычно считают, что 0£r<+¥.,0£j<2p. Однако в некоторых задачах приходится рассматривать углы, большие 2p, а также oтрицательные углы, т. е. углы отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу О соответствует r=0 , а угол j не определен.

Установим связь между декартовой и полярной системами координат. При этом будем предполагать, что начало декартовой системы и полюс совпадают, а полярная ось является положительной полуосью ox (рис.20). Очевидно, x=rcosj, y=rsinj и обратно, , tgj=y/x

Y

y M

r

j

O

x X рис.20

Чтобы найти величину угла j, нужно, используя знаки x и y определить в какой четверти находится точка М.

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, исключительно им присущими.

Пример. Окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой точки плоскости О (центр окружности).

Уравнением линии на плоскости xoy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты (x, у) каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной линии.

Из определения уравнения линии возникают две основные задачи аналитической геометрии.

1) Дана линия, как множество точек. Составить уравнение линии.

2) Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению ее геометрические свойства.

Замечание. Вид уравнения линии зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат.