Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И

СЕРВИСА

Кафедра высшей математики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

По дисциплине: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Уфа – 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Матрицы 2

Глава 2. Определители 13

Глава 3. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Обратная матрица. 22

Глава 4. Система линейных уравнений 30

Глава 5. Однородные системы линейных уравнений. 35

Глава 6. Неоднородные системы линейных уравнений 40

Решение типовых задач 45

Глава 7. Элементы аналитической геометрии на плоскости 70

Глава 8. Плоскость и прямая в пространстве 80

Глава I. МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Многие задачи математики (и не только математики) приводят к рассмотрению специальных таблиц (в общем случае прямоугольных), составленных из чисел

Таблица А типа 3х4 (три на четыре). В общем случае матрица В порядка mxn пишется следующим образом:

или

Можно записывать и более кратко:

B = (aij)m,n i = 1,2, …, m, j = 1,2, …, n

Числа bij – элементы матрицы, i - номер строки, j - номер столбца, положение bij вполне определяется его индексами (i и j).

Элемент матрицы А стоит на пересечении 2-й строки и четвертого столбца, все элементы одной и той же строки имеют одинаковый первый индекс, а все элементы одного столбца – одинаковый второй индекс, так, вторая строка матрицы В порядка mxn состоит из элементов (b21, b22, b23, …, b2n), третий столбец той же матрицы имеет вид

Принято матрицу и её элементы обозначать одной и той же буквой (матрицу – большой, элементы – малыми буквами с индексами)

A = (aij)m, n, B = (bk, l)m, n, C = (cr, s)m, n

Если в частности m = n, то (mxn) - матрица А называется квадратной: (nxn) матрица

A

n

A = (aij)n, n = n

имеет вид

Число n называется порядком квадратной матрицы А.

Элементы kвадратной матрицы А с одинаковыми индексами a11, a22, …, ann называются диагональными, они образуют главную диагональ, а элементы a1n, a2(n-1), …,an1 образуют побочную диагональ, рассмотрим матрицу

главную диагональ образуют элементы c11, c22,c33, побочную диагональ образуют c13, c22, c31.

ЧАСТНЫЕ ТИПЫ МАТРИЦ

Если матрица (aij)m,n содержит только нулевые элементы, то она называется нуль-матрицей

Квадратная матрица Е вида

y которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей.

Мы покажем позже, что нуль-матрица О и единичная Е играют в теории матриц ту же роль, что и числа 0 и 1 в арифметических операциях:

("a)(a + 0 = 0 + a = a) ^ (a× 0 = 0 × a = 0) ^ (a × 1 = 1 × a = a)

Частным случаем (mxn) – матрицы являются и такие матрицы как A = (a11, a12, …, a1n), это так называемая строчная матрица, её мы можем рассматривать как n-мерный вектор = (a11, a12, …, a1n). Можно рассматривать и так называемые столбцевые матрицы

A = = (a i j)m,1

Очевидно (aij)m,1 – это m-мерный вектор = (a11, a21, …, am1).

Выделим из множества квадратных матриц так называемые треугольные матрицы:

- верхнетреугольная

нижнетреугольная

Рассмотрим две матрицы одинакового строения: A = (aij)m,n, B = (bij)m,n,

(они имеют одинаковое число строк m, и одинаковое число столбцов n)

(A = B) ("i,j)(aij = bij) т. е. соответствующие элементы матриц a и B равны.

Например, если A = B

= B = ,

то а11 = 1, a12 = 0, a13 = 2, a14 = -1; a21 = 3, a22 = -4, a23 = 1, a24 = -5;

Заметим, что задавая систему линейных уравнении, мы тем самым задаем две

матрицы, в школьном курсе маиематики мы на этом не акцентировали внимание. Действительно, рассмотрим систему

(*)

Системе (*) соответствуют две матрицы:

А называется матрицей системы (1), В – её расширенной матрицей. Ясно, что

система (1) вполне определяется заданием матрицы В.

В множестве матриц можmnно разумным образом ввести несколько операции:

сложение матриц, умножение матриц, умножение матрицы на число.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Пусть А и В – имеют одинаковое строение, т. е. A = (aij)m, n B = (bij)m, n (они

имеют одинаковый порядок )

Суммой матриц А и В одного порядка называется матрица С = (сij)m,n, элементы

которой сij равны сумме соответствующих элементов A и B: C = (cij)m,n (aij + bij)m,n

Если

Сумма матриц А и В обозначается A + B = C, таким образом

В частности, если О – нулевая матрица порядка mxn, А – матрица того же порядка, то, очевидно A + O = O + A = A.

Очевидно, A + B = B + A (коммутативность сложения)

(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения)

Рассмотрим матрицы:

Очевидно A + B существует, её порядок (3х3), но A + C и B + C - невыполнимые операции, так как A и C, B и C имеют неодинаковые порядки (3х3) и (2х4).

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ЧИСЛО

Рассмотрим A = (aij)m,n и к . Под произведением матрицы А на число к называется новая матрица В = кА, имеющая тот же порядок, что и А, элементы которой bij kaij :

B = k× A = k

Например, 3 × A = 33

(-2) E3 = -2

k × O = k .