Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 6 )

Достаточность. Пусть ¹ 0. Обозначим = D. Построим новую матрицу В следующим образом:

1)  В матрице А заменим каждый её элемент aij его алгебраическим

дополнением Aij, получим матрицу A1:

2)  Транспортируем матрицу A1, получим матрицу A2 =

=

3)  Умножим A2 на число , получим матрицу B = A2:

Покажем, что B = A-1 т. е. AB = BA = E

Обозначим AB = C, BA = C1.

Пусть C = (cij), C1 = (c’ij)

cij = (a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + … + a i n A i n) =

ибо, если i = j, то выражение в скобках представляет собой разложение определителя по i–ой строке, поэтому равно D (см. свойство определи, если же i ¹ j, то выражение равно сумме произведении элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки, поэтому оно равно нулю (см. свойство определи

Таким образом, ("i)(cij = 1), ("i ¹ j)(cij = 0),

т. е. C = (cij)n,n = E.

Аналогично доказывается, что C1 = E

Итак, поставленный вопрос относительно существования и построения обратной матрицы мы получим такой ответ: если ¹ 0, то обратная матрица существует и находится она по формуле (8):

A-1 = A2 =

Примеры.

1) A = , построить A-1.

= 13(¹ 0) Þ A-1 cуществует.

Найдем Aij, Aij = (-1)i+ jMij

A11 = 3; A12 = 1; A21 = -7; A22 = 2; Þ A-1 =

Проверка:

A × A-1 = = == E2

2) Найти A-1 для

= (-1) = (-1)(1-2) = 1 Þ A-1

cуществует.

Найдем Aij, (Aij = (-1)i+ jMij)

Проверка:

A-1 × A = E3

3) Найти A-1 для А,

Вычислим .

=

т. к. имеет две одинаковые строчки. Имеем: detA = 0 Þ обратная матрица для А не существует.

Глава IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В школьном курсе математики рассматриваются как правило, квадратные системы линейных уравнении, т. е. системы, в которых число неизвестных равно числу уравнении. Например, такие

и другие.

В курсе высшей математики исследуются системы линейных уравнении в самом

общем виде:

(9)

Заметим, что в общем случае т ≠ п, в частности система (9) может быть квадратной, т. е. т = п. В §2 мы отмечали, что системе линейных уравнении соответствуют две матрицы, например, системе (9)

,

,

А называется матрицей системы (9), - её расширенной матрицей. Матрица вполне определяет систему (9): по ней полностью можно воспроизвести систему (9) с точностью до обозначения неизвестных.

Простейшим частным случаем системы (9) является линейное уравнение

ax = b (9’)

Для (9’) m = n = 1

a) Если a ≠ 0 Þ x = , система имеет единственное решение.

б) Если a = b = 0, то (9’) удовлетворяет любое действительное х, она имеет бесконечное множество решении.

в) Если а = 0, b ¹ 0 система не имеет решении.

Такие же частные случаи имеют место и в общем случае для системы (9): система может иметь единственное решение, бесконечное множество решении, может вообще не иметь решении.

Система (9) называется совместной, если она имеет решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решении.

Запишем систему (9) в матричной форме.

Пусть - столбцевые матрицы.

Тогда легко показать, что система (9) может быть записана в следующей (матричной) форме:

(10)

Действительно, произведение определено, т. к. число столбцов A равно числу строк :

× =

получили столбцевую матрицу. Две столбцевые матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, приравнивая соответствующие элементы и , получим систему (9). Итак, систему(9) можно записать в компактной матричной форме (10).

Система (9) называется однородной, если вектор - нулевой, т. е. если в правой части уравнении системы (9) стоят только нули, в противном случае (9) называется неоднородной (= среди координат вектора есть хотя бы одно bi ¹ 0)

Решением системы (9) называется вектор , координаты которого при подстановке их в уравнения системы (9) обращают их в верные числовые равенства.

Две системы типа (9) называются эквивалентными, если множества их решении совпадают.

Элементарным преобразованиям матрицы А системы (9) соответствуют элементарные преобразования уравнении этой системы:

(а) вычеркиванию нулевой строки – вычеркивание уравнения с нулевыми коэффициентами,

(б) перестановке двух строк местами – перестановка двух системы местами,

(в) умножению строки на число, неравное нулю,

(г) прибавлению к строке другой строки, умноженного на произвольное число.

Из элементарной математики нам известно, что при элементарных преобразованиях системы получается новая система, эквивалентная данной.