Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 8 )

т = 3. Назовем переменные х4, х5, несвязанные с угловыми коэффициентами, свободными, а переменные х1, х2, х3 – главными. Главными всегда являются переменные, коэффициенты при которых остались угловыми, Заметим сразу, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могли оказаться переменные с другими номерами.

Однако, число свободных переменных всегда равно п - r, где n - число переменных в системе уравнений (в нашем случае n = 5), а r – ранг матрицы, равный числу угловых элементов (в нашем случае r = 3).

Второй этап метода Гаусса называется обратным ходом. Мы будем находить вектор-решение, причем сначала будем рассматривать последнее уравнение системы, а затем будем «подниматься наверх» по системе к первому уравнению (отсюда название «обратный ход»). Вернемся к системе (17). Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные х4, х5 в правую часть системы:

(18)

Из последнего уравнения выразим несвободную переменную х3 через свободные х4, х5. При этом важно, что коэффициент при х3 – это угловой элемент, а значит, отличен от нуля:

x3 = - x4 + x5 (19)

Полученное выражение для х3 подставим в предпоследнее уравнение системы (18) и выразим из него несвободную переменную х2 через свободные х4, х5:

(20)

Теперь подставляем в первое уравнение системы (18) выражения (19) и (20) для переменных х3 и х2, получим для x1 = - x4 + 3x5.

Окончательно формулы, выражающие зависимые (несвободные) переменные через свободные, имеют вид:

(21)

Эту запись можно рассматривать как запись общего решения системы (15). Давая свободным переменным х4, х5 произвольные значения, находим по формулам (21) значения главных переменных и получаем бесконечное множество решении системы. Таким образом, в записи (21) содержится бесконечное множество решений исходной системы, т. к. переменным х4 и х5 можно давать любые значения. Например, пусть x4 = 0, x5 = 1, тогда вектор = (3, -3, 1, 0, 1) будет решением системы; если

x4 = 0, x5 = 1, тогда вектор – другое решение системы; при

x4 = x5 = 1, получим – тоже решение и т. д.

Векторы называют частными решениями системы. Они получаются из общих формул (21), если подставлять в них конкретные значения свободных переменных. Особую роль играют системы уравнений, которые имеют единственное решение. В случае такой системы нет свободных переменных, т. е. ступенчатая форма матрицы имеет верхнетреугольный вид.

Пример.

Преобразованная система имеет вид

Из последнего уравнения x3 = 0, подставляя x3 во второе уравнение, получим x2 = 0, а затем и х1 = 0. Мы нашли единственное решение системы (0, 0, 0) = . Легко видеть, что определитель этой системы отличен от нуля, поэтому нулевое решение можно получить непосредственно по формулам Крамера.

Таким образом, если число угловых элементов оказалось в ступенчатой форме равным числу переменных, n = 3, то система имеет единственное решение, таким решением однородной системы является = (0, 0, 0) - нуль вектор. Нулевое решение однородной системы называют тривиальным.

Глава VI. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ

Критерий совместности неоднородной системы уравнений

В общем виде неоднородная система записывается так

(22)

или в векторно-матричном виде

, см. (12) (23)

Соответствующая этой системе однородная система имеет ту же матрицу системы A = (aij)m n, но свободный вектор правых частей , т. е.

(24)

Вспомним, что решения однородной системы можно было складывать и умножать на числа, при этом снова получались решения той же системы. С неоднородными системами дело обстоит иначе. Справедливы следующие утверждения.

Пусть вектор и вектор – два решения неоднородной системы. Тогда вектор является решением соответствующей однородной системы.

Проверим это подстановкой в систему (24):

A== - = 0, A = .

Пусть теперь вектор - некоторое частное решение неоднородной системы (23), - решение соответствующей однородной системы (24), тогда вектор будет решением неоднородной системы (23). Подставим в систему (23):

= = + = , А = . Это означает, что к решениям однородной системы можно прибавить решение неоднородной, получим решение неоднородной системы.

Чтобы получить общее решение неоднородной системы нужно к общему решению соответствующей однородной системы прибавить некоторое частное решение неоднородной. Как только было показано, такая сумма будет решением неоднородной системы. Кроме того, в этой сумме будут содержаться все решения неоднородной системы.

Чтобы прояснить вопрос о совместности системы, рассмотрим пример:

Имеем , , , .

Выпишем расширенную матрицу и методом Гаусса приведем её к ступенчатому виду:

= В

Матрица В имеет ступенчатый вид, имеет три угловых элемента, ранг расширенной матрицы равен 3. Заметим, что и нерасширенная матрица (до вертикальной черты) одновременно тоже приведена к ступенчатому виду, но она имеет ранг r = 2,, т. е. r(A) ¹ r( ), по теореме Кронекера-Капелли система несовместна. Выпишем соответствующую систему уравнений:

Видно, что не существует таких числовых значении x1, x2, x3, x4, чтобы последнее уравнение выполнялось, а значит, система несовместна. Всегда, если в ступенчатом виде расширенной матрицы есть строка, в которой до вертикальной черты стоят только нули, а за вертикальной чертой стоит ненулевой элемент, можно сделать вывод о несовместности системы уравнений. Описанная ситуация означает, что ранг расширенной матрицы больше на 1 ранга основной матрицы (в нашем случае r(A) = = 2, r( ) = 3).