Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 11 )

из каждой строки, начиная со II-й, вычтем 1 - ю:

так как последний определитель верхнетреугольный.

РАНГ МАТРИЦЫ

1. Найти если

Как известно, см. §4, рангом матрицы А называется наивыс­ший порядок ее миноров, отличных от нуля.

Если , то наибольший порядок ее миноров, неравных нулю, равен 2

Рассмотрим матрицу Но имеет миноры I - ro порядка, неравные нулю, тако­выми являются все четыре элемента наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля, равен 1, т. е. .

Рассмотрим Аз она имеет ступенчатую форму равен числу ее ненулевых строк, т. е. 3, иначе

  Найти для

Матрицу приведем к ступенчатому виду ( с помощью эле­ментарных преобразований)

, мы применили следующие элементарные преоб­разования:

(1) - поменяли местами 1 и II строчки, в результате в левом верхнем углу получили 1, это сделано для удобства вычислений.

(2) - к II и III строчкам прибавили 1 - ю, умноженную соответ­ственно на-3 и-1

(3) - к III строке прибавили II - ю,

(4) - вычеркнули нулевую строку.

При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меня­ется, в результате преобразований получили ступенчатую матрицу, число ее ненулевых строк равно .

Найдем ранг .

Число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы рав­но .

(1) - поменяли местами 1 и II строки,

(2) - прибавили к II и III строкам 1 - ю, умноженную соответ­ственно на -2 и -3

(3) - поменяем местами I и II строчки

(4) - к III строке прибавим II - ю, умноженную на -2.

Ранг матрицы равен 2, так как после вычеркивания нулевой строки получаем матрицу

,

которая имеет минор II -го порядка, отличный от нуля:

.

Найти ранг матриц:

Матрица D приведена к ступенчатому виду, число ненулевых ее строк равно .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Если квадратная матрица А невырожденная, т. е. , то для А существует такая, что

  Найти обратные матрицы для

Найдем .

- существует.
Обозначим

Проверка

Аналогично получается

Найдем .

- существует,

Проверка

Аналогично проверяется

Найдем .

существует.

Проверка

Непосредственно проверяется и

Найдем .

существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы D.

Вычислим .

существует. Вычислим алгебраические дополнения эле­ментов М :

2. Решить матричные уравнения AX == В, YC = D, где A и В, С и D- квадратные матрицы одного порядка, Х и У искомые матрицы.

Если , то каждое из этих уравнений имеет единственное решение: умножим первое уравнение слева на , второе - справа на

.

Аналогично,

Рассмотрим конкретные примеры:

существует, уравнение AX = В имеет единст­венное решение :. Построим , для этого найдем :