Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 5 )

× = -18, т. е. × =.

Глава III. РАНГ МАТРИЦЫ, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Рассмотрим (mxn) – матрицу, пусть k N, k ≤ m, n. Выберем в А к строк и к столбцов, на их пересечении находится квадратная матрица к-го порядка, определитель которой называется минором к-го порядка данной матрицы А. Заметим, что строки и столбцы минора должны быть расположены относительно друг друга в том же порядке, что и в матрице А. Рассмотрим пример.

Составим некоторые миноры к-го порядка:

k = 1: любой элемент матрицы А, например, a11 – минор I порядка

k = 2:

k = 3:

(выписаны все миноры 3-го порядка)

Введем понятие ранга матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок её миноров, не равных нулю.

Обозначения: rA, r(A), rang A, rank A. Мы будем пользоваться первыми обозначениями, они наиболее компактны.

Примеры.

Найти rA.

= 3(≠ 0) Þ наивысший порядок её миноров, отличных от нуля равен 2 Þ rA = 2.

B = Найти rB.

Миноры II порядка, отличные от нуля, имеются, например,

= -1 – 12 = -13(¹ 0) Þ rB ³ 2.

Но единственный минор III порядка, который имеется у матрицы В

наивысший

порядок миноров, отличных от нуля равен 2 Þ rB = 2.

Найти rC.

Непосредственно можно установить, что rC = 3 т. к. матрица С имеет минор III порядка, отличный от нуля

= 1(¹ 0).

миноров IV порядка у нее нет Þ 3 – наивысший порядок её миноров, не равных нулю.

Введем теперь понятие элементарных преобразовании матрицы.

Определение. Следующие преобразования матрицы называются элементарными:

а) вычеркивание нулевой строки,

б) перестановка двух строк местами,

в) умножение строки на число, отличное от нуля,

г) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не меняется.

Эту теорему мы возьмем без доказательств.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ

Очевидно, если A = 0 Þ rA = 0, если же A ¹ 0 Þ rA ³ 1, т. е. если А имеет хотя бы один элемент, не равный нулю, то rA ³ 1. Очевидно 0£ rA £ min (m,n). Существует несколько способов для вычисления rA. Мы остановимся на одном из них наиболее простом и естественном. Матрицу вида

называют ступенчатой, если a11 × a22 … ass ¹ 0

(a11 ¹ 0, a22 ¹ 0, …, ass ¹ 0).

Непосредственно можно показать, что rA = S – числу ненулевых строк А, действительно А, имеет минор S - го порядка

= a11a22 … ass ¹ 0

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Рассмотрим примеры.

Найти rA для

Приведем А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразовании А

(1) – первые 2 строки А оставили без изменения, из 3-й строчки вычли 1-ю (= к

3-й строчке прибавим 1-ю, умноженную на (-1)).

(2) – первые 2 строчки матрицы после преобразования (1) оставили без

изменения, из 3-й и 4-й вычли 2-ю, (3) – вычеркнули нулевую строку.

В результате получим (3х5) матрицу с ненулевыми строками Þ rA = 3

(числу ненулевых строк)

(2) Для матрицы С, рассмотренной выше (см. стр. ), найдем rC посредством

элементарных преобразовании.

Её ранг мы вычисляли, он равен 3. Легко видеть, что матрица С имеет

ступенчатый вид, число ненулевых строк равно 3 Þ rC = 3

Найти rD для

D =

,

(1) – первую строчку оставили без изменения, к 2-й и 3-й строке прибавили 1-ю, умноженную соответственно на 4 и 7,

(2) – первые две строчки преобразованной матрицы оставили без изменения, из 3-й вычли 2-ю, умноженную на 2,2

(3) – из последней матрицы удалили нулевую строку, получили ступенчатую матрицу с двумя ненулевыми строчками Þ rD = 2.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Сравним свойства операции сложения и умножения для действительных чисел и квадратных матриц

1)  ("a, b R)(a + b = b + a; a + 0 = a)

2)  ("aR)($ - a)(a + (-a) = 0)

3)  ("a, b R)(a× b = b × a; a× 0 = 0)

4)  ($1 R) ("a R)(a × 1 = a)

5)  Если a ¹ 0 Þ $a-1 такoе, что a× a-1 = 1

Рассмотрим теперь свойства сложения и умножения матриц.

Если А и В квадратные матрицы n-го порядка, то

1)  А + В = В + А, А + 0 + А

2)  А + (-А) = 0

3)  В общем случае A × B ¹ B × A, A × 0 = 0 × A = 0

4)  ($A)(AE = EA = A)

Возникает вопрос, когда для квадратной матрицы А существует матрица

B такая, что AB = BA = E, если существует, как её найти.

Определение. Если для квадратной матрицы А существует матрица В такая, что AB = BA = E, то В называется обратной для А и обозначается A-1 (т. е. B = A-1). Очевидно в этом случае A × A-1 = A-1 × A = E и, следовательно А будет обратной для A-1: (A-1)-1 = A.

Теорема. Для квадратной матрицы A = (aij)n,n обратная матрица A-1 существует тогда и только тогда, когда ¹ 0 (Если ¹ 0, то А называется невырожденной)

Доказательство. Необходимость. Пусть для А существует A-1: A× A-1 = E, тогда на основании 10-го свойства определителей имеем = × = = 1 Þ × =1, ¹ 0.