Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 9 )

Если же r(A) = r( ), т. е. ранги расширенной и основной матрицы совпадают, то ступенчатая форма В заканчивается нулевыми строками.

В этом случае исходная система совместна (теорема Кронекера-Капелли).

Научимся теперь находить решения неоднородной системы в случае её совместности.

Пусть дана система уравнений:

Выпишем расширенную матрицу и приведем её к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса):

= B

Поскольку в расширенной и основной матрице 3 ступеньки, то r(A) = r( ), система совместна. Эквивалентная ступенчатая система имеет вид:

(25)

Мы отбросили последнее уравнение, которое выполняется тождественно (при всех значениях х1, х2, х3, х4 имеем 0х1 + 0х2 + 0х3 + 0х4 = 0)

Обратный ход метода Гаусса начинается с того, что объявляем переменные х1, х2, х3 («связанные» с угловыми элементами) главными, а переменную х4 – свободной. Выражаем через эту свободную переменную х4 остальные:

(26)

Сначала из последнего уравнения (25) мы нашли х3, а затем, подставляя выражение для х3, через х4 во второе уравнение (25), получили выражение х2 через х4 и, поднимаясь ещё «выше», находим х1. Запишем общее решение системы:

= (- 4х4 – 14; - 2х4 – 9; - х4 -3; х4)

Давая переменной х4 конкретные числовые значения и вычисляя х1, х2, х3, мы будем получать все новые и новые решения системы.

Например, если х1 = 0, то х2 = - 9, х3 = -3 и вектор (-14, -9, -3, 0) будет частным решением системы.

Отметим следующий важный факт. Общее решение соответствующей однородной системы в нашем примере запишется так:

(27)

Из формул (26) видно, что общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения (27) однородной и частного решения неоднородной системы равно сумме некоторого частного решения (-14, -9, -3, 0) неоднородной системы и общего решения однородной.

Особо отметим ситуацию, когда система имеет единственное решение. Как и в случае однородной системы это означает, что нет свободных переменных, а угловых элементов ровно столько, сколько переменных в задаче.

Пример. Рассмотрим систему:

Имеем

,

r( ) = 3

Ступенчатая система имеет вид

Свободных переменных нет, из последнего уравнения находим, что x3 = 1. Подставляя это значение во второе уравнение, получим

-2x2 = 1 - 5x3, -2x2 = -4, x2 = 2.

Наконец, из первого уравнения x1 = - x2 + 2x3 = -2 + 2× 1 = 0.

Единственное решение системы – вектор (0, 2, 1).

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.

1.  Найти А + В, если A = , B =

A + B =

2.  Найти В + С, если B = , C =

Сумма В + С не определена, так как В и С имеют разные порядки: (2х3) и (2х2)

3.  Найти C = 2A - B, если

A = , B =

C = + =

4.  Найти AT + B, если A = , B =

AT = , AT + B = + =

5.  Найти A × B и B × A, если A = , B =

AB = =

BA = =

Таким образом матрицы А, В, - неперестановочны так как A ¹ B

6.  Найти AB = C, если

A = , B =

Заметим, что число столбцов А равно числу строк B Þ AB определено.

C =

c11 = 1× 1 + 2(-1) + (-1) × 1 = -2

c12 = 1× 2 + 2(-3) + (-1) × 4 = -8

c13 = 1× 0 + 2 × 0 + (-1) × 1 = -1

c21 = 3× 1 + 1(-1) + 0 × 1 = 2

c22 = 3× 2 + 1(-3) + 0 × 4 = 3

c33 = 3× 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0

C =

BA не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк

матрицы А.

7.  Найти A × B, если A = , B =

A × B - определено, но B × A – не имеет смысла

AB =

8.  Найти A3, если A =

× × = × =

= × .

= =.

= × = .

Легко видеть, что An = =

9.  Найти A3, если A = , A3 = A2 × A,

A2 = × = ==

A3 = A2 × A = × =

= =

Можно доказать, что An =

10.  Найти C = A2 – 3AB, если

A = , B =

A2 = = .

AB = =

C = A2 – 3AB = -3= + =

11.  Найти A × AT и AT × A, где A =

AT = , A × AT = × =

AT × A = × =