Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 17 )

Решение. Пусть - искомое уравнение эллипса. Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно , . Отсюда , . Итак, уравнение эллипса имеет вид .

17.Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса .

Решение. Найдем координаты фокусов и вершин эллипса. Из соотношения – имеем =8-5=3. Таким образом координаты фокусов эллипса , . Координаты вершин , . По условию вершины гиперболы лежат в точках F1 и F2. Находим ,. Окончательно получаем .

18.Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью ОХ

Решение.

Точка пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью ОХ имеет координаты (1;0). Следовательно, в каноническом уравнении параболы y2=2px параметр p=2. Окончательно получаем y2=4x

19.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и M0(1;2;-3) перпендикулярно вектору ={1;-2;3} .

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору 1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0, т. е.

x-2y+3z+12=0.

20.Составить уравнение плоскости проходящей через три точки (1;1;1); (1;-1;0); (2;1;3)

Решение.

Пользуясь уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки имеем .

Раскрывая определитель получаем -4x-y+2z+3=0.

  Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям 3х-2у+2z+7=0 и 5x-4y+3z+1=0.

Решение.

Очевидно, что в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение векторов {3;-2;2} и {5;-4;3}

Теперь, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку М, перпендикулярно вектору получаем 2(x-3)+y+1-2(z+5)=0 или 2x+y-2z-15=0

  Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1;1;1) и параллельно вектору ={2;-3;5}

Решение.

Пользуясь каноническим уравнением прямой, получаем .

  Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(5;-1;3) и параллельно прямой 2x+3y+z-6=0

4x-5y-z+2=0

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой . Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам ={2;3;1} и ={4;-5;-1}, то за q можно принять векторное произведение векторов и . .

Пользуясь каноническим уравнением прямой имеем

.

  Найти точку пересечения прямых и

Решение.

Выразим из уравнения первой прямой х, у через z.

Подставляя эти выражения в равенство

имеем z=-2. Окончательно получаем (0;7;-2) точка пересечения прямых

  Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной плоскости 3х +у-z+2=0.

Решение.

Поскольку искомая плоскость содержит данную прямую, поэтому она проходит через точку М(-1;2;0). Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен направляющему вектору ={3;-1;4} данной прямой и нормальному вектору ={3;1;-1} данной плоскости.

Поэтому

.

Остается воспользоваться уравнением плоскости проходящей через заданную точку М перпендикулярно заданному вектору .

-3(х+1)+15(у-2)+6z=0 или х-5у-2z+11=0.