Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 3 )

z2 = b21(a11x1 + a12x2) + b22(a21x1 + a22x2) = (b21a11 + b22a21)x1 + (b21a12 + b22a22)x2

Таким образом преобразование (x1, x2) на (z1, z2) осуществляется с помощью матрицы

Последовательное выполнение преобразовании (x1, x2) на (y1, y2) и (y1, y2) на (z1, z2) т. е. (x1, x2) на (z1, z2) называется произведением этих линейных преобразовании, которому соотвеоствует произведение соответствующих квадратных матриц BA.

Таким образом, произведение матриц B × A – это матрица преобразования плоскости x1ox2 на плосkoсть z1oz2, т. е. матрица C, см.(4)

Глава II. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II ПОРЯДКА

Рассмотрим квадратную матрицу II порядка

поставим ей в соответствие число a11a22 – a12a21, которое обозначим a11a22 – a12a21 и назовем определителем II порядка или детерминатом (от французского слова determinant - определитель). Имеются ещё и другие обозначения:

Последнее ввел английский математик Кэли (Cayley, 1821-1895)

Определитель II порядка имеет 2! = 2 члена: a11a22, a12a21

Общий вид члена определителя II порядка - некоторая перестановка чисел 1,2; всего таких перестановок можно составить 2: (12), (21), каждой перестановке соответствует член .

Член определителя представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца .

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вначале рассмотрим одно специальное преобразование матрицы, которое назовем транспонированием.

Пусть дана (mxn) матрица A.

Составим новую матрицу AT

,

kоторая получена из A заменой её столбцов строками с теми же самыми номерами: 1- я строка записана 1-м столбцом, 2-я строка – 2-м столбцом и т. д. m–я строка - m-м столбцом. Полученная матрица называется транспонированной по отношению к A и обозначается AT.

Порядок AT равен (nxm), очевидно A × AT и AT × A определены и существуют. Если A = (aij)n,n, то AT тоже квадратная и её порядок равен n.

В частности, если AT = A, то A называется симметричной (= симметрической), у такой матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой. Пример симметричной матрицы

для A, AT = A

Кроме того заметим, что (AT)T = A

Теперь перейдем к рассмотрению свойств определителей II порядка (n=2). Итак,

a11a22 – a12a21

Непосредственно получаем

1) det AT = a11a22 – a12a21 Þ ;

Из этого следует, что свойство, верное для строк, верное и для столбцов определителя и обратно, поэтому в дальнейшем мы будем говорить преимущественно о свойствах строк определителя.

2) При перестановке строк местами меняется лишь знак определителя, его абсолютная величина сохраняется:

= a11a22 – a12a21;

= a12a21 – a11a22 = - (a11a22 – a12a21) = -.

3) Чтобы умножить det A на число m, достаточно умножить любую его строку на m:

m m (a11a22 – a12a21) = (ma11)a22 – (ma12)a21 = a11(ma22) – a12(ma21),

т. е. m =

Верно и обратное утверждение: если элементы некоторой строки имеют общий множитель m, то его можно вынести за знак определителя:

= m = m, A =

Пример. Рассмотрим A = , = 15 + 21 = 36.

= 3(5 + 7) = 36

4)  Если detA имеет нулевую строку, то он равен нулю.

= a11 × 0 – a12 × 0 = 0

5)  Если определитель имеет одинаковые строки, то он равен нулю:

= a11 × a12 – a12 × a11 = 0

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ III ПОРЯДКА (n=3)

Рассмотрим квадратную матрицу III порядка

поставим ей в соответствие число

D = (a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31) – (a13a22a31 +a11a23a32 + a12a21a33)

kоторое назовем определителем III порядка и обозначим

Определитель III порядка имеет 3! = 6 членов: a11a22a33, a13a21a32, a12a23a31, a13a22a31, a11a23a32, a12a21a33,

Общий вид члена определителя III порядка – некоторая перестановка чисел 1, 2, 3, всего таких перестановок можно составить 6: (123), (132), (213), (231), (312), (321), этим перестановкам соответствуют 6 членов . Член определителя представляет собою произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца . Для составления шести членов определителя III порядка существует мнемоническое правило (правило Саррюса = правило треугольника). В определитель входят 3 члена со знаком «+» и 3 члена со знаком «-», для их составления можно воспользоваться следующим правилом:

(+) (-)

Первые 3 члена определителя получаются перемножением трех элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух соответствующих треугольников (см. левый рисунок со знаком (+)). Другие 3 члена определителя получаются аналогично перемножением 3 элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах двух других треугольников (см. правый рисунок со знаком (-)).