Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 12 )

Решим еще одно матричное уравнение:

Найдем

Уравнение YC = D имеет единственное решение:

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вначале рассмотрим системы, решаемые по методу Крамера.

  Решить систему линейных уравнений

система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера ( система определенная):

, где , получается из заменой в нем i - го столбца столбцом из свободных членов.

D1 = = = - = = -10

D2 = = = = -20

D3 = = = = 10 Þ

x1 = = 1; x2 = = 2; x3 = = -1;

вектор (1,2, -1) - решение системы, система определенная.

2. Решить систему линейных уравнений

D = = - 153 – 44 = -197

D1 = = -279 – 312 = -591 D2 = = 1326 – 341 = 985

x = = y = = -

Решением системы является вектор
= (3; -5).
Система совместная, определенная.

  Рассмотрим систему линейных уравнений

Ее можно решить по методу Крамера, так как ее определитель D ¹ 0.

D = = = = -11

Oднако, мы ее решим по методу Гаусса. Выпишем ее расширенную матрицу и приведем к ступенчатому виду:

(1) - переставили местами I и II строки,

(2) - к II и III строкам прибавили I-ю, умноженную соответ­ственно на-3 и-4

(3) - к III строке прибавили II-ю, умноженную на -5, последней матрице соответствует матрица

Система приведена к треугольному виду, она имеет единствен­ное решение:

x3 = 2; x2 = 4x3 – 5 = 4 × 2 – 5 = 3; x1 = x1 = x3 – x2 = 2 – 3 = - 1.

Решением системы является вектор = (-1; 3; 2), система сов­местная, определенная.

4. Исследовать систему линейных уравнений:

Найдем ранг матрицы системы

A =

Матрица А имеет миноры II - го порядка, отличные от нуля, например,

= -10 + 3 = -7 Þ r A ³ 2.

Но определитель матрицы А равен нулю

наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, равен 2, т. е. r (A) = 2.

Найдем ранг расширенной матрицы

Эта матрица имеет минор III - го порядка, неравный нулю:

Þ максимальный порядок миноров , отличных от нуля, рав­няется 3, т. е. r() = 3, получили: r (А) ¹ r( ),

по теореме Кронекера-Капелли (см. §5) система несовместная.

Заметим, что к данной системе метод Крамера применить не­возможно, так как определитель системы равен нулю.

5. Исследовать систему линейных уравнений

Вычислим r (A) и r (),

A =

Þ r (A) = 3

Þ r () = 3, т. е. r (A) = r () = 3, система совместна.

Решим систему по методу Гаусса, по правилам Крамера она не может быть решена, так как система неквадратная. Матрицу выше мы привели к ступенчатому виду, ей соответствует система

В полученной системе неизвестную x4 перенесем в правые час­ти уравнений и объявим ее свободной неизвестной, x1, x2, x3 - глав­ными неизвестными.

решая эту систему, относительно главных неизвестных x1, x2, x3, получим

х3 = х4 – 1

х2 = (7х4 – 3 –3х3) = [7х4 – 3 –3 × ( х4 - 1)] = 0

x1 = 2 – 4x4 + x3 + 2x2 = 2 – 4x4 +( х4 - 1) = - + 1

Получили общее решение:

=

Придавая свободной неизвестной x4 произвольные числовые значения, получим бесконечное множество частных решений:

Пусть x4 = 0: (1; 0; -1; 0)

Пусть x4 = 1: ()

Пусть x4 = - 1: и т. д.