Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 4 )

Свойства (1-5), установленные для определителей II порядка, справедливы и для определителей III порядка, их справедливость проверяется непосредственно.

Определители n-го порядка (n ³ 3) богаче свойствами, для их дальнейшего изучения введем несколько вспомогательных понятий.

Рассмотрим множество из n чисел {n ³ 3). Известно, что существует ровно n! перестановок элементов этого множества, например,

Пусть n = 2, 2! = 2 перестановки чисел {1, 2}: (12), (21)

Пусть n = 3, 3! = 6 перестановок чисел {1, 2, 3}: (123), (132), (213), (231), (312), (321).

Пусть n = 4, 4! = 24 перестановки чисел {1, 2, 3, 4}:

(1234), (1324), (2134), (2314), (3124), (3214)

(1243), (1342), (2143), (2341), (3142), (3241)

(1423), (1432), (2413), (2431), (3412), (3421)

(4123), (4132), (4213), (4231), (4312), (4321) и т. д.

Пусть (k1, k2, …kn) - некоторая перестановка n – чисел, будем говорить, что элементы этой перестановки ks и kr образуют беспорядок, если а) ks > kr; б) ks предшествует kr.

Пример, n = 5. В перестановке = (35142) образуют беспорядки 3 и 1; 3 и 2; 5 и 1; 5 и 4; 5 и 2; 4 и 2.

Перестановка называется четной, если число беспорядков в ней четно, и нечетной – в противном случае.

Рассмотренная выше перестановка (35142) четная, так как она имеет 6 беспорядков, перестановка (35412) – нечетная, так как число беспорядков в ней 7.

Вернемся к определителю III порядка

D = = (a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31) – (a13a22a31 +a12a21a33 + a11a23a32)

Непосредственно можно проверить, что вторые индексы первых трех членов, взятых со знаком «+», четные: (123), (321), (231), трех последних членов, взятых со знаком «-», нечетные: (321), (213), (132).

Аналогично и для определителя II порядка.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПОРЯДКА n

Поставим в соответствие квадратной матрице A = (aij)n,n число detA = , равное алгебраической сумме n! членов составленных из сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы A, причем член берется со знаком «+», если его вторые индексы (k1, k2 …kn) образуют четную перестановку, со знаком «-» в противном случае.

Таким образом

detA =

где

если = (k1k2…kn) – четная перестановка, если - нечетная перестановка,

сумма распространяется на все перестановки n чисел {1, 2, …n}.

Непосредственно видно, что определители II и III порядков то же подпадают под это определение.

Теперь к рассмотренным выше свойствам (1-5) добавим ещё несколько новых. Вначале введем понятия минора и алгебраического дополнения. Пусть aij – некоторый элемент матрицы A = (aij)n,n. Вычеркнем в определителе i – ую строку и j – й столбец, в результате получим определитель (n-1) порядка Mij, который называется минором элемента aij. Величина Aij = (-1)i+ jMij называется алгебраическим дополнением aij.

Рассмотрим пример

M23 =

M11 = M33 =

A23 = (-1)2+ 3M23 = 12; A11 = (-1)1+ 1M11 = -1; A33 = (-1)3+ 3M33 = 3

Вернемся к рассмотрению свойств определителей n-го порядка, будем считать, что для них верны свойства (1-5). Добавим к ним ещё несколько новых свойств.

6)  Определитель равен сумме произведении элементов некоторой строки на их

алгебраические дополнения (строка выбирается произвольно), т. е.

detA = ai1 Ai1 + ai2Ai2 + … + ai n Ai n (i = 1, 2, … , n) (5)

Равенство (5) называется разложением по i – ой строке.

Доказательство этого свойства для произвольного требует дополнительных

построении, мы ограничимся лишь проверкой этого соотношения для n = 3 по произвольно выработанной строке, например, второй. (i = 2)

D = = a21A21 + a22A22 + a23A23

A21 = (-1)2+ 1M21 = - = - (a12a33 – a13a32)

A22 = M22 = = a11a33 – a13 a31

А23 = - М23 = -= - (a11a32 – a12 a31)

D= а21 [-(a12a33 – a13a32)]+ a22(a11a33 – a13a31)+ a23[-(a11a32 – a12a31)]=(a12a21a32+ a11a22a33+

+ a12a23a31 – (a12a21a33 + a13a22a31 + a11a23a32).

Мы получили разложение определителя по правилу Саррюса. Аналогично можно получить разложение по любой строке (столбцу). Например, запишем разложение определителя D по III столбцу D = a13A13 + a23A23 + a33A33.

7)  Сумма произведении элементов некоторой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равно нулю. Для определенности возьмем I и II строки. Рассмотрим тождество

= = b1A21 + b2A22 + … + bnA2n (6)

Равенство (6) – разложение по II строке – верно при любых значениях b1, b2, …, bn,

следовательно, оно представляет собой тождество по b1, b2, …, bn.

Подставим вместо этих элементов соответственно a11, a12, …, a1n, получим

= a11A21 + a12A22 + … + a1nA2n = 0 (7)

Правая часть (6) обратилась в 0, так как определитель имеет одинаковые строки (I и II). Очевидно, равенство (7), доказанное для I и II строк, верно для любой пары строк.

8)  Рассмотрим определитель

D == (a11 + a’11)A11 + (a12 + a’12)A12 + … +

(a1n + a’1n)A1n = (a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n) + (a’11A11 + a’12A12 + … + a’1nA1n) = D1 + D2,

где

D1 =, D2 =.

Пример.

D = = + = D1 + D2,

D = -1, D1 = -1, D2 = 0.

(I-ю строку D мы представим как 1 + 1 1 + 2 0 + 0)

Величина определителя D не изменяется, если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число к.

Для определенности к элементам II строки прибавим соответствующие элементы I, умноженные на число к :

D1 =

+

= D

т. е. D1 = D.

переход (1) выполнен на основании свойства (8), (2) и (3) – соответственно на основании свойств (3) и (5).

Рассмотрим ещё одно свойство квадратных матриц, которое возьмем без доказательства.

8)  Если А и В – две квадратные матрицы n – порядка, то det (AB) = detA × detB. Если A × B = C, то detA × detB = detC.

Пример.

A = , B = . AB = C = = 3; = -6; = 21 – 39 = -18